Birkhoffovy axiomy

Birkhoffovy axiomy jsou systémem čtyř postulátů v euklidovské geometrii. Tyto postuláty jsou založeny na tvrzeních, která lze ověřit měřením pomocí úhloměru a pravítka.

Při formulaci postulátů se používají reálná čísla . Proto systém Birkhoffových postulátů připomíná zavedení euklidovské geometrie pomocí modelu .

Historie

Navrhl George Birkhoff [1] . Birkhoff přispěl k napsání školní učebnice využívající tento axiomový systém. [2] Tento systém ovlivnil systém axiomů vyvinutý School Mathematics Study Group školu

Několik pozdějších knih o základech geometrie, knih [3] , [4] a [5] používá axiomatiku blízkou Birkhoffově.

Postuláty

Postulát I: Množina bodů { A, B , …} na libovolné přímce připouští bijekci na reálná čísla { a, b , … }, takže

|ba|=d(A,B)

pro všechny body A a B.

Postulát II: Existuje pouze jedna čára ℓ , která obsahuje libovolné dva odlišné body P a Q.

Postulát III: Množina paprsků { ℓ,m, n ,…} s počátkem v libovolném bodě O připouští bijekci k množině reálných čísel modulo 2 π , takže pokud A a B jsou body (jiné než O ) na paprscích ℓ a m , v tomto pořadí , potom . Pokud se navíc bod B na m pohybuje plynule po přímce p , která neobsahuje vrchol O , pak se plynule mění i číslo a m . $a_{m}-a_{\ell }\equiv \angle AOB{\pmod {2\cdot \pi }}$

Postulát IV . Předpokládejme, že dva trojúhelníky a jsou takové, že , Pro nějaké reálné číslo a , Pak , A . $ABC$ $A'B'C'$ $d(A',B')=k\cdot d(A,B)$ $d(A',C')=k\cdot d(A,C)$ $k>0$ $\angle B'A'C'=\pm \angle BAC{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $d(B',C')=k\cdot d(B,C)$ $\angle A'C'B'=\pm \angle ACB{\pmod {2{\cdot }\pi }}$ $\angle C'B'A'=\pm \angle CBA{\pmod {2{\cdot }\pi }}$

Viz také

Poznámky

↑ Birkhoff, George David (1932), Sada postulátů pro rovinnou geometrii (na základě měřítka a úhloměrů) , Annals of Mathematics vol. 33: 329–345 , DOI 10.2307/1968336
↑ Birkhoff, George David & Beatley, Ralph (2000), Základní geometrie (3. vyd.), Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ Kelly, Paul Joseph & Matthews, Gordon (1981), Neeuklidovská , hyperbolická rovina: její struktura a konzistence , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9
↑ Martin, George E. Základy geometrie a neeuklidovská rovina. ISBN: 0-387-90694-0
↑ Anton Petrunin. Euklidovská rovina a její příbuzní; minimalistický úvod . - 2017. - ISBN 978-1974214167 .