Birkhoffovy axiomy jsou systémem čtyř postulátů v euklidovské geometrii. Tyto postuláty jsou založeny na tvrzeních, která lze ověřit měřením pomocí úhloměru a pravítka.
Při formulaci postulátů se používají reálná čísla . Proto systém Birkhoffových postulátů připomíná zavedení euklidovské geometrie pomocí modelu .
Navrhl George Birkhoff [1] . Birkhoff přispěl k napsání školní učebnice využívající tento axiomový systém. [2] Tento systém ovlivnil systém axiomů vyvinutý School Mathematics Study Group školu
Několik pozdějších knih o základech geometrie, knih [3] , [4] a [5] používá axiomatiku blízkou Birkhoffově.
Postulát I: Množina bodů { A, B , …} na libovolné přímce připouští bijekci na reálná čísla { a, b , … }, takže
pro všechny body A a B.
Postulát II: Existuje pouze jedna čára ℓ , která obsahuje libovolné dva odlišné body P a Q.
Postulát III: Množina paprsků { ℓ,m, n ,…} s počátkem v libovolném bodě O připouští bijekci k množině reálných čísel modulo 2 π , takže pokud A a B jsou body (jiné než O ) na paprscích ℓ a m , v tomto pořadí , potom . Pokud se navíc bod B na m pohybuje plynule po přímce p , která neobsahuje vrchol O , pak se plynule mění i číslo a m .
Postulát IV . Předpokládejme, že dva trojúhelníky a jsou takové, že , Pro nějaké reálné číslo a , Pak , A .