Algebra nad polem

Algebra nad polem je vektorový prostor vybavený bilineárním součinem. To znamená, že algebra nad polem je vektorový prostor i kruh a tyto struktury jsou konzistentní. Zobecněním tohoto konceptu je algebra nad kruhem , což obecně není vektorový prostor, ale modul nad nějakým kruhem.

Algebra je řekl, aby byl asociativní jestliže operace násobení v tom je asociativní ; podle toho je algebra s jednotkou algebra, ve které existuje prvek, který je neutrální vzhledem k násobení. V některých učebnicích slovo „algebra“ znamená „asociativní algebra“, ale určitý význam mají i neasociativní algebry.

Definice

Nechť je vektorový prostor nad polem vybaveným operací zvanou násobení. Pak je algebra u konce , pokud pro kteroukoli platí následující vlastnosti: $A$ $K$ $A\krát A\to A$ $A$ $K$ $x,y,z\v A,\;a,b\v K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$ .

Tyto tři vlastnosti lze vyjádřit jedním slovem tak, že operace násobení je bilineární . V případě jednotkových algeber se často uvádí následující ekvivalentní definice:

Algebra s jednotou nad polem je kruh s jednotou vybavený homomorfismem kruhů s jednotou tak, že patří do středu kruhu (tj. množina prvků komutujících násobením se všemi ostatními prvky). Poté můžeme předpokládat, že jde o vektorový prostor s následující operací násobení skalárem : .

K

A

f:K\to A

f(K)

A

A

K

\alpha \v K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Související definice

Homomorfismus -algeber je -lineární zobrazení takové, že pro kteroukoli z domén. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
Subalgebra algebry nad polem je lineární podprostor takový, že součin libovolných dvou prvků z tohoto podprostoru k němu opět patří. Jinými slovy, subalgebra lineární algebry nad polem je její podmnožinou, pokud je podkruhem prstence a podprostorem lineárního prostoru [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Prvek algebry se nazývá algebraický , pokud je obsažen v konečnorozměrné subalgebře.
- Algebra se nazývá algebraická , pokud jsou všechny její prvky algebraické. [2]

Levý ideál -algebry je lineární podprostor, který je uzavřen pod levým násobením libovolným prvkem kruhu. V souladu s tím je pravý ideál uzavřen pod pravým násobením; oboustranný ideál je ideál, který je levý i pravý. Jediný rozdíl mezi touto definicí a definicí ideálu kruhu je požadavek, aby byl uzavřen při násobení prvky pole, v případě algeber s identitou je tento požadavek splněn automaticky. $K$
Algebra dělení je algebra nad polem taková, že pro některý z jeho prvků jsou rovnice a řešitelné [3] . Zejména asociativní dělení algebry, která má jednotku, je šikmé pole . $a\neq 0$ $b$ $sekera=b$ $jo=b$
Střed algebry je množina prvků taková, že pro jakýkoli prvek . $A$ $v A$ $xa=ax$ $x\v A$

Příklady

Asociativní algebry

Komplexní čísla jsou přirozeně dvourozměrnou algebrou nad reálnými hodnotami .
Čtveřice jsou čtyřrozměrná algebra přes reálná čísla.
Předchozí dva příklady jsou pole a šikmé pole, v tomto pořadí, a to není náhoda: jakákoli algebra konečných rozměrů nad polem, která nemá nulové dělitele , je algebra dělení. Násobení vlevo je skutečně lineární transformací této algebry jako vektorového prostoru, tato transformace má nulové jádro (protože není nulovým dělitelem), je tedy surjektivní; konkrétně existuje inverzní obraz libovolného prvku , tj. prvku takového, že = . Druhá podmínka je prokázána obdobně. $X$ $X$ $b$ $y$ $xy$ $b$
Komutativní (a nekonečně-dimenzionální) polynomiální algebra . $K[x]$
Algebry funkcí , jako je -algebra reálných spojitých funkcí definovaných na intervalu (0, 1) nebo -algebra holomorfních funkcí definovaných na pevné otevřené podmnožině komplexní roviny. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Algebry lineárních operátorů na Hilbertově prostoru .

Neasociativní algebry

Strukturální koeficienty

Násobení v algebře nad polem je jednoznačně definováno součiny základních vektorů. K definování algebry nad polem tedy stačí specifikovat jeho dimenzi a strukturální koeficienty , což jsou prvky pole. Tyto koeficienty jsou definovány takto: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

kde je nějaký základ . Různé sady strukturních koeficientů mohou odpovídat izomorfním algebrám. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $A$

Pokud je pouze komutativní kruh a ne pole, je tento popis možný pouze v případě, že je algebra volným modulem . $K$ $A$

Viz také

Poznámky

↑ Skornyakov L. A. Prvky algebry. - M., Nauka, 1986. - str. 190
↑ Jacobson N. Struktura prstenců . - M. : IL, 1961. - 392 s.
↑ Kuzmin E. N. Algebra with division Archivní kopie ze 14. července 2015 na Wayback Machine

Literatura

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitola III. Kruhy a moduly // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Referenční matematická knihovna). — 30 000 výtisků. — ISBN 5-02-014426-6 .