Alternativní matice

Alternativní matice [1] [2] ( anglicky Alternant matrix ) - v lineární algebře matice speciálního typu dimenze , specifikovaná pomocí prvků a funkcí tak, že každý prvek matice [3] nebo v rozšířené podobě: $m\krát n$ $m$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\tečky \alpha _{m}$ $n$ $f_{1},f_{2},\tečky f_{n}$ $M_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$

M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\tečky &f_{n}(\alpha _{1})\\f_ {1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\tečky &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3 })&f_{2}(\alpha _{3})&\tečky &f_{n}(\alpha _{3})\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\f_{1}(\ alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\tečky &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}

Někdy je alternativní matice definována v transponované podobě .

Příklady a použití alternativních matic

Běžným a často se vyskytujícím speciálním případem alternativní matice je Vandermondova matice . Alternativní matice má tento tvar v . (Někteří autoři nazývají Vandermondovu matici alternativou [4] [5] .) Vzácnějším speciálním případem alternativní matice je Mooreova matice $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{i-1}}$ , ve kterém . $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{q^{{i-1}}}}$

Obecněji se v teorii kódování používají alternativní matice .

Vlastnosti alternativních matic

Pokud je původní alternativní matice čtvercová a jsou-li všechny funkce polynomiální , pak je podmínka pro všechny determinanty alternativní matice rovna nule, a je tedy dělitelem determinantu takové alternativní matice pro libovolný , splnění podmínky . Proto Vandermondův determinant $f_{j}(x)$ $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ $i<j$ $(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ $i,j$ $1\leq i<j\leq n$

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\tečky &\alpha _{1}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&\tečky &\alpha _{ 2}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&\tečky &\alpha _{3}^{{n-1}}\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\1&\alpha _{n}&\tečky &\alpha _{n}^{{n-1}}\\\end{bmatrix}}

rovný je také dělitel determinantů takových alternativních matic. Vztah nese zvláštní název " bialternant ". $\prod _{{i<j}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\frac {\det M}{\det V))$

Všimněte si také, že v případě kdy získáme klasickou definici Schurových polynomů . $f_{j}(x)=x^{{m_{j}}}$

Viz také

Literatura

AC Aitken. Determinanty a matice. — 9. vydání. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 111-123. — 144 s.
Richard P. Stanley. Enumerativní kombinatorika. - Cambridge University Press, 1999. - V. 2. - S. 334-342. — ISBN 0521560691 .
Thomas Muir . Pojednání o teorii determinantů. - Mineola, NY: Dover Publications, 2003. - S. 321-363. — 766 s. — ISBN 0486495531 .

Poznámky

↑ alternativní matice // Velký anglicko-ruský a rusko-anglický slovník . — 2001. (Ruština)
↑ Alternativní matice . Multitran.ru. Získáno 17. listopadu 2012. Archivováno z originálu 10. listopadu 2014. (neurčitý)
↑ AC Aitken. Determinanty a matice. — 9. vydání. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 112. - 144 s.
↑ Hrishikesh D. Vinod. Praktická maticová algebra pomocí R: aktivní a motivované učení s aplikacemi. - Singapur: World Scientific, 2011. - S. 290. - 329 s. — ISBN 9814313688 .
↑ Marvin Marcus, Henryk Minc. Přehled teorie matic a maticových nerovností . - New York: Dover, 1992. - S. 15 . — 180 s. — ISBN 048667102X .