Analytická teorie čísel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Analytická teorie čísel - odvětví teorie čísel , ve kterém vlastnosti celých čísel jsou studovány metodami matematické analýzy . Nejznámější výsledky souvisejí se zkoumáním distribuce prvočísel a aditivních problémů Goldbacha a Waringa .

Prvním krokem v tomto směru se stala Eulerova metoda generování funkcí . Určit počet celočíselných nezáporných řešení lineární rovnice tvaru

a_1 x_1+...+a_n x_n=N,

kde jsou přirozená čísla , Euler zkonstruoval generující funkci, která je definována jako součin konvergentní řady (pro ) $a_{1},...,a_{n}$ $|z|<1$

F_{i}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{(z^{a_{i)))^{k))

a je součtem členů geometrické progrese , zatímco

F(z)=\součet^\infty_{N=0}l(N) z^N,

kde je počet řešení zkoumané rovnice. [jeden] $l(N)$

Gauss ve své práci o kvadratickém zákoně reciprocity zvažoval konečné součty tvaru

S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p},

která iniciovala používání goniometrických součtů [1] . Základní metody pro aplikaci goniometrických součtů na analýzu rovnic v celých číslech a prvočíslech vyvinuli Hardy , Littlewood a Vinogradov .

Při práci na důkazu Euklidovy věty o nekonečnu prvočísel Euler zvážil součin nad všemi prvočísly a formuloval identitu:

\Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}

který se stal základem pro teorie zeta funkcí [1] . Nejznámějším a dosud nevyřešeným problémem v analytické teorii čísel je důkaz Riemannovy hypotézy o nulách funkce zeta , která říká, že všechny netriviální kořeny rovnice leží na takzvané kritické přímce , kde je Riemannův funkce zeta . $\zeta (s)=0$ ${\mathrm {Re}}\,s={\frac {1}{2}}$ $\zeta$

K prokázání věty o nekonečnu prvočísel v obecném tvaru použil Dirichlet součin nad všemi prvočísly, podobně jako Eulerův součin, a ukázal, že

\Pi _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}} ^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))}

navíc funkce , nazývaná Dirichletův znak , je definována tak, že splňuje následující podmínky: je periodická, zcela multiplikativní a není shodně rovna nule. Znaky a Dirichletovy řady také našly uplatnění v jiných odvětvích matematiky, zejména v algebře , topologii a teorii funkcí [1] . $\chi (p)$

Čebyšev ukázal, že počet prvočísel nepřesahujících , označený jako , má tendenci k nekonečnu podle následujícího zákona [1] : $X$ $\pi (X)$

a{\frac {X}{\ln(X)))<\pi (X)<b{\frac {X}{\ln(X))))

, kde a .

a>1/2\ln 2

b<2\ln 2

Další odvětví analytické teorie čísel je aplikace komplexní analýzy v důkazu teorému na distribuci připraví .

Viz také

teorie čísel

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Teorie čísel // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978. // Velká sovětská encyklopedie

Literatura

Davenport, Harold (2000), Multiplikativní teorie čísel , sv. 74 (3. revidované vyd.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory , sv. 46, Cambridgeská studia pokročilé matematiky, Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7
B.M. Širokov, Petrozavodská státní univerzita. O. V. Kuusinena. Analytická teorie čísel. - Stát Petrozavodsk. univerzita. O.V. Kuusinen, 1986. - 93 s.
A. B. Venkov, Leon Armenovič Takhtadžjan. Analytická teorie čísel a teorie funkcí. - Nauka, 1979. - T. 2. - 224 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	NKC : ph612534