Analytický signál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. července 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Analytický signál (analytická reprezentace signálu) je matematická reprezentace analogového signálu používaná v teorii zpracování signálu ve formě komplexní analytické funkce času. Obvyklý, reálný signál x je pak reálnou částí analytické reprezentace x a .

Myšlenkou transformace je ponechat ve spektru signálu pouze nezáporné frekvence , dostatečné k jeho obnovení díky hermitovské symetrii: . $X(-f) = \overline{X(f)}$

Analytický signál je zobecněním konceptu komplexní amplitudy na případ signálů jiných než harmonických .

Definice

Nechť x ( t ) je reálná funkce reprezentující signál, jehož Fourierovu transformaci (tj. spektrum) označíme X ( f ), [1] a u( f ) Heavisideovu funkci .

Pak:

\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{for } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f) \cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}

obsahuje pouze nezápornou část spektra X ( f ).

Podrobíme-li výsledné spektrum inverzní Fourierově transformaci, získáme analytický signál: $X_{\mathrm {a} }(f)$

\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace {\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \ mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end {zarovnat}

kde * je konvoluce , je Hilbertova transformace funkce a znamená imaginární jednotku . $\hat{x}(t)$ $x(t),$ $j$

Příklady

Nechte nějakou frekvenci $x(t)=\cos(\omega _{0}t)$ $\omega _{0}>0$

Pak:

{\hat {x}}(t)=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})= \sin(\omega _{0}t)

x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+j\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{j\omega _{ 0}t}

Toto je komplexní funkce s časem rostoucím argumentem .

Praktické aplikace

Eliminace "záporných frekvencí" se používá v analogovém přenosu zvuku ( AM vysílání , analogová telefonie ) pro úsporu šířky pásma .

Poznámky

↑ Všimněte si, že f je frekvenční proměnná , nikoli funkce.

Viz také

Komplexní odpor

Externí odkazy