Asymptoticky normální odhad

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. června 2018; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Asymptoticky normální odhad je v matematické statistice odhad, jehož distribuce má tendenci k normální distribuci , když se velikost vzorku zvětšuje.

Definice

Nechť je vzorek z rozdělení v závislosti na parametru . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \in \Theta$

Bodový odhad je považován za asymptoticky normální s rozptylem if ${\klobouk {\theta ))$ $\sigma \ ^{2}(\theta )$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z

distribucí na ,

n\to\infty

kde je normální náhodná veličina . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$

Poznámka

Ekvivalentně je odhad asymptoticky normální, jestliže ${\klobouk {\theta ))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\to {\tilde {Z}}

distribucí na ,

n\to\infty

kde . ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Vlastnosti

Asymptoticky normální odhad je konzistentní . ${\klobouk {\theta ))$
Při splnění dostatečně obecných specifikací je odhad metody momentů asymptoticky normální.

Příklady

Nechť je vzorek ze spojitého rovnoměrného rozdělení , kde . Nechat $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\theta >0$

{\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}

kde je průměr vzorku a ${\bar {X}}$

{\displaystyle {\klobouček {\theta }}_{2}=X_{(n)))

kde . Potom je estimátor asymptoticky normální s rozptylem , ale estimátor není asymptoticky normální. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\klobouček {\theta }}_{1}$ $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ ${\klobouček {\theta }}_{2}$