Afinní délka
Afinní délka je parametr rovinné křivky , který je zachován při ekviafinních transformacích (tj . afinních transformacích se zachováním plochy ).
Definice
Pro plochou křivku se afinní délka vypočítá podle vzorce
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c00124194b1c0af00f122fc292b24614cb002)
kde označuje křížový součin a a jsou první a druhé deriváty.
Speciální případy
- Afinní délka funkčního grafu je dána vztahem
- Pro křivku s přirozeným parametrem a zakřivením
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ad8f2c7ada540f74278afe3f9bf3307e380209)
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca817d2e56a118bb4c0c87f8d9d1cbb77cc5645)
Vlastnosti
- Délka afinního oblouku paraboly je , kde S je plocha trojúhelníku tvořená tětivou oblouku a tečnami k parabole na koncích oblouku.
- Mezi konvexními uzavřenými křivkami s pevnou afinní délkou omezují elipsy (a pouze ony) nejmenší plochu.
![{\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053aca4b4d7b8c1562c836a2510e2467fffcd76)
Variace a zobecnění
Existují také zobecnění afinní délky na případ prostorových křivek a na obecnou afinní grupu, jakož i na její další podgrupy.
Literatura
- L. Feyesh Tot, Uspořádání na rovině, na kouli a v prostoru , M., Fizmatlit, 1958. - 364 s.