Afinní transformace
Afinní transformace , někdy afinní transformace [1] (z latinského affinis „souvislý, blízký, sousedící“) je zobrazení roviny nebo prostoru do sebe, při kterém se z rovnoběžných přímek stávají rovnoběžné přímky, protínající se přímky se protínají, protínající se přímky se protínají [ 2] .
Definice
Geometrické
Bijekce euklidovského prostoru nebo roviny do sebe, která mapuje rovnoběžné přímky na rovnoběžné přímky, se nazývá afinní transformace.
Algebraické
Afinní transformace je transformace formy
kde je invertibilní matice a .
Komentáře
- Všimněte si, že kontinuita se v geometrické definici nepředpokládá. Z definice však plyne kontinuita ne zcela triviálním způsobem. Navíc jsou obě definice ekvivalentní tzv. základní větou afinní geometrie .
- Všimněte si, že transformace je afinní, pokud ji lze získat následovně:
- Vyberte si „nový“ prostorový základ s „novým“ původem ;
- Přiřaďte každému bodu v prostoru bod , který má vůči „novému“ souřadnicovému systému stejné souřadnice jako ve „starém“.
Příklady
Příklady afinních transformací jsou
Vlastnosti
- Při afinní transformaci se z přímky stane přímka.
- Pokud rozměr prostoru , pak je jakákoliv transformace prostoru (tj. bijekce prostoru na sebe), která přebírá čáry do čar, afinní. Tato definice se používá při axiomatické konstrukci afinní geometrie
- Afinní transformace tvoří skupinu s ohledem na složení .
- Jakékoli tři body neležící na stejné přímce a jejich obrazy (neležící na stejné přímce) jednoznačně definují afinní transformaci roviny.
Typy afinních transformací
- Equiafinní transformace je afinní transformace, která zachová plochu (zachová se i afinní délka ).
- Centro -afinní transformace je afinní transformace, která zachovává původ.
Maticová reprezentace
Stejně jako ostatní projektivní transformace lze afinní transformaci zapsat jako přechodovou matici v homogenních souřadnicích :
Maticová reprezentace se používá zejména k zápisu afinních transformací v počítačové grafice. Výše uvedený formulář se používá v OpenGL [3] ; v DirectX (kde jsou souřadnice reprezentovány jako matice 1×4) je transponován [4] .
Variace a zobecnění
- Ve výše uvedené definici afinní transformace lze použít libovolné pole , nejen pole reálných čísel .
- Mapování mezi metrickými prostory se nazývá afinní, pokud mapuje geodetiku na geodetiku (s přihlédnutím k parametrizaci).
- Afinní transformace prostoru jsou speciálním případem projektivních transformací téhož prostoru. Projektivní transformace prostoru lze zase reprezentovat jako afinní transformace prostoru .
Viz také
Poznámky
- ↑ Kagan V.F. Základy teorie povrchů v tenzorovém zobrazení. - Ripol-classic , 2013. - 518 s. — ISBN 9785458491099 .
- ↑ I. M. Vinogradov. Afinní transformace // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
- ↑ Transformace OpenGL . Získáno 4. srpna 2010. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2011.
- ↑ Transformace (Direct3D 9 ) . Získáno 4. srpna 2010. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2011.
Odkazy
Slovníky a encyklopedie |
|
---|
V bibliografických katalozích |
|
---|