Bezpodmínečná konvergence

V počtu , řada v Banach prostoru X je řekl, aby byl bezpodmínečně konvergentní jestliže, pro libovolnou permutaci, řada je konvergentní. $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)))$

Vlastnosti

Pokud je řada bezpodmínečně konvergentní, pak existuje jedinečný prvek takový, že pro libovolnou permutaci $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $x\in X,$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)}}=x,$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N} .$
Libovolná absolutně konvergentní řada je bezpodmínečně konvergentní, ale obráceně to neplatí. Nicméně, když X = R n , pak kvůli Riemannově větě je řada bezpodmínečně konvergentní právě tehdy, když je absolutně konvergentní. $\sum x_{n}$
Jestliže je posloupnost prvků Hilbertova prostoru H , pak bezpodmínečná konvergence řady implikuje $\{x_n\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Ekvivalentní definice

Lze uvést několik ekvivalentních definic bezpodmínečné konvergence: řada je bezpodmínečně konvergentní právě tehdy, když:

pro libovolnou posloupnost , kde , řada je konvergentní. $(\varepsilon _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$
pro libovolnou posloupnost , taková , že řada je konvergentní. $(\alpha _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$
pro libovolnou posloupnost je řada konvergentní. $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{k_{n}}}$
pro libovolnou existuje konečná podmnožina taková, že pro libovolnou konečnou podmnožinu $\varepsilon >0$ $I\subset \mathbb{N} ,$ $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\varepsilon$ $J\subset \mathbb{N} \setminus I$

Příklad

Nechť je dán prostor $l^{p}\,,$ , kde je Banachův prostor číselných posloupností s normou . Uvažujme v něm posloupnost, kde je na n-tém místě nenulová hodnota . Pak je řada bezpodmínečně konvergentní, ale ne absolutně konvergentní. $1<p<\infty$ $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{{\ frac {1}{p}}}}$ $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n)),0,\ldots ),$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$

Viz také

Odkazy

Popov Michail. Geometrie Banachových prostorů (nepřístupný odkaz)
Kryštof Heil. Základní teorie
Bezpodmínečná konvergencev PlanetMath .

Literatura

Banakh S.S., Kurz funkční analýzy (lineární operace) (nepřístupný odkaz) , K.: Radyanska Shkola, 1948.
Knopp, Konrad (1956). Nekonečné posloupnosti a řady. Doverské publikace. ISBN 978-0486601533 .
Knopp, Konrad (1990). Teorie a aplikace nekonečných řad. Doverské publikace. ISBN 978-0486661650 .
P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces pro analytiky. Cambridge University Press. ISBN 978-0521566759 .