Variace kroucení křivky

Změna rotace křivky je integrálem zakřivení křivky podél její délky.

Definice

Změna rotace křivky v rovině nebo v prostoru je definována jako nejmenší horní mez součtu vnějších úhlů vepsaných do křivky . $\gamma$ $\gamma$

Pokud je křivka uzavřená, předpokládá se, že je uzavřená i vepsaná křivka. $\gamma$

Jestliže hladká křivka, parametrizovaná délkou, je její zakřivení , pak se změna rotace rovná integrálu modulu zakřivení: ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ $\kappa(s)$ $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

Variace rotace hladké pravidelné křivky může být také definována jako délka její tečné indicatrix ; to je křivka tvořená jednotkovými tečnými vektory . ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ ${\displaystyle \tau (s)\dvojtečka [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1))$ $\tau (s)={\tfrac {{\tečka {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}$

Fenchelův teorém rotace křivky : Variace rotace jakékoli uzavřené křivky je nejméně . Navíc v případě rovnosti je křivka plochá a konvexní. $2{\cdot}\pi$
Fari-Milnorova věta o rotaci uzlu : Variace rotace jakéhokoli uzlu je větší . $4{\cdot }\pi$
Nerovnost DNA . Leží-li uzavřená rovinná křivka v konvexním obrazci s obvodem, pak její délka nepřesahuje její rotaci. [jeden] $2{\cdot}\pi$
Usovova geodetická věta : Variace rotace geodézy na grafu konvexní funkce nepřesahuje dvojnásobek její Lipschitzovy konstanty . [2] $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
Úhlová délka uzavřené křivky vzhledem k libovolnému bodu nepřesahuje její rotaci. [3]
Variace rotace nejkratší křivky na uzavřené konvexní ploše je omezena univerzální konstantou. [čtyři]

U rovinných křivek může mít křivka znaménko a rotace křivky může být definována jako znaménkový integrál křivosti. Věta o rotaci křivky je diferenciálním geometrickým protějškem teorému o součtu mnohoúhelníkového úhlu .

↑ Nazarov, Alexandr Iljič, Fedor Vladimirovič Petrov. K domněnce S. L. Tabachnikova // Algebra a analýza . - 2007. - T. 19 , č. 1 . - S. 177-193. . (Ruština)
↑ V. V. Úsov. "Na délce kulového obrazu geodézy na konvexním povrchu." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), s. 233-236
↑ A. Petrunin, S. Stadler. Šest důkazů Fáry-Milnorovy věty // arXiv:2203.15137 [math.HO].
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. O úplném zakřivení minimalizační geodetiky na konvexních plochách // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , č. 1 . - S. 189-208 . (Ruština)