Externí algebra

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. září 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Externí algebra nebo Grassmannova algebra je asociativní algebra používaná v geometrii při konstrukci teorie integrace ve vícerozměrných prostorech. Poprvé představen Grassmannem v roce 1844.

Vnější algebra nad prostorem je obvykle označena . Nejdůležitějším příkladem je algebra diferenciálních forem na dané varietě. $PROTI$ $\bigwedge V$

Definice a související pojmy

Vnější algebra vektorového prostoru nad polem je asociativní kvocientová algebra tenzorové algebry pomocí oboustranného ideálu generovaného prvky tvaru : $\bigwedge V$ $PROTI$ $K$ $T(V)$ $já$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I

Jestliže charakteristika pole je , pak ideál je přesně stejný jako ideál generovaný prvky formuláře . $\operatorname {char} (K)\neq 2$ $já$ $x\otimes y+y\otimes x$

Násobení ∧ v takové algebře se nazývá vnější součin . Svou konstrukcí je antikomutativní:

x\wedge y=-(y\wedge x).

K - tá vnější mocnina prostoru se nazývá vektorový prostor generovaný prvky formuláře $PROTI$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,

navíc a = { 0 } pro k > n . $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Jestliže a { e 1 , …, e n } je základ , pak základem je množina $\dim V=n$ $PROTI$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ a }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Pak

{\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

a je snadné vidět, že vnější algebra má přirozeně stupňování : if a , then $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).

Vlastnosti

Prvky prostoru se nazývají r -vektory. V případě, že charakteristika hlavního pole je rovna 0, lze je chápat také jako šikmo symetrické r krát kontravariantní tenzory nad operací antisymetrizovaného (alternujícího) tenzorového součinu, tedy vnějšího součinu dvou antisymetrických tenzory je složení úplné antisymetrizace (alternace) přes všechny indexy s tenzorovým součinem . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $PROTI,$
- Zejména vnější součin dvou vektorů lze chápat jako následující tenzor: $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Poznámka: Neexistuje žádný jednotný standard pro to, co znamená „antisymetrizace“. Mnoho autorů například preferuje vzorec $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Vnější čtverec libovolného vektoru je nula: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

Pro r -vektory se sudým r to neplatí. Například

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Lineárně nezávislé systémy -vektorů az generují stejný podprostor právě tehdy, když jsou -vektory a proporcionální . $r$ $x_{1},\tečky ,x_{r}$ $y_{1},\tečky ,y_{r}$ $PROTI$ $r$ $x_{1}\wedge \tečky \wedge x_{r}$ $y_{1}\klín \tečky \klín y_{r}$

Odkazy

Kurz algebry Vinberg E. B. - M. : Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, - M .: Fizmatlit, 2009.
Schutz B. Geometrické metody matematické fyziky. — M .: Mir, 1984.
Efimov NV Úvod do teorie vnějších forem. — M .: Nauka , 1977.

Externí algebra

Definice a související pojmy

Vlastnosti

Odkazy

Viz také