Wave Pack

Vlnový paket ( vlak vln ) je určitý soubor vln s různými frekvencemi , které popisují útvar s vlnovými vlastnostmi, obecně omezený v čase a prostoru. V kvantové mechanice tak popis částice ve formě vlnových paketů přispěl k přijetí statistické interpretace kvadrátu modulu vlnové funkce [1] .

Libovolná jednotlivá vlna jako funkce vektoru poloměru a času je popsána výrazem $\psi ({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega }t-{\mathbf {k} }{\mathbf { r} })))))={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar ))))$

kde je imaginární jednotka, je energie nesená vlnou, je redukovaná Planckova konstanta , je hybnost přenášená vlnou, je její cyklická frekvence (normální frekvenční časy ), je vlnočet (definovaný jako ; zde je rychlost světlo). $i$ $E$ $\hbar$ $p$ $\omega$ $2\pi$ $k$ $k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}$ $c~-$

Pro vlnový popis jednotlivé částice s klidovou hmotností je nutné sečíst určitý počet vln s blízkými frekvencemi a v tomto případě bude vlnová funkce znatelně odlišná od nuly pouze v relativně malé oblasti prostoru. Získejte vlnový balíček. $\psi(r,t)$

Z superpozice (množiny) rovinných vln vytvoříme vlnový balík, pro který se vlnové číslo mění od do (pro jednoduchost předpokládáme, že amplitudy zůstávají konstantní a stejné na intervalu s hlavní hodnotou ): $k$ $k_{0}-{\frac {\Delta k}{2))$ $k_{0}+{\frac {\Delta k}{2))$ ${\frac {A}{\Delta k))$

\psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}}^{{k_ {0}+{\frac {\Delta k}{2}}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\ psi _{n}

kde nyní označuje výslednou vlnovou funkci , a veličiny označují příspěvky vln , ze kterých je paket tvořen, k výsledné vlně a . $\psi(r,t)$ ${\displaystyle J_{n))$ $\psi_{n}$ $\sum J_{n}^{2}=1$

Skupinová rychlost

Skupinová rychlost je kinematická charakteristika disperzního vlnového prostředí, obvykle interpretovaná jako rychlost maximální amplitudové obálky úzkého kvazi-monochromatického vlnového paketu.

Frekvenci v Taylorově řadě rozšiřujeme jako funkci [2] : $\omega$ $k$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}} \omega _{0}''+\tečky

Poté, když se omezíme pouze na podmínky prvního řádu malosti s ohledem na , zjistíme: ${\displaystyle \Delta k=k-k_{0))$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+\tečky =\omega _{0}+\omega _{1}+\tečky

Opět, vezmeme-li v úvahu pouze podmínky prvního řádu malosti, po integraci přes , dostaneme: $dk$

\psi (r,t)=B\exp {\big (}-i(\omega _{0}t-k_{0}r){\big )}

a výsledná amplituda vlnového paketu bude rovna $B$

B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}\,\qquad \xi ={\frac {\Delta k}{2}}\ (r-\omega _{0}'t)

Z toho vyplývá, že amplituda nezůstává konstantní ani v prostoru, ani v čase. Je také vidět, že prostorové rozložení vlnového balíčku se řídí podobným zákonem , kde , , jsou některé veličiny, které jsou obecně proměnlivé a závisí na vzdálenosti k bodu hlavního maxima a na čase. $B$ $a{\frac {\sin(bx)}{cx))$ $A$ $b$ $C$ $X$

Pro určení skupinové rychlosti vlnového paketu jako celku je nutné nastavit , a potom $u$ $\xi ={\rm {const))$

u={\frac {dr}{dt}}=\omega _{0}'

Nyní zvažte prostorové rozložení vlnového balíčku. Nechte _ Pak . Druhá mocnina amplitudy vlnového balíčku dosahuje hlavního maxima v bodě c . Zbývající maxima se odpovídajícím způsobem sníží: , , a v bodech druhá mocnina amplitudy zmizí. $t=0$ $\xi =r{\frac {\Delta k}{2))$ ${\displaystyle B^{2}=A^{2}{\frac {\sin ^{2}\xi }{\xi ^{2))))$ $\xi =0$ $B^{2}(\pm {\frac {3\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{9\pi ^{2}}}$ $B^{2}(\pm {\frac {5\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{25\pi ^{2}}}$ $\ldots$ $\pm \pi ,\pm 2\pi ,\tečky$

Díky tomu můžeme předpokládat, že oblast lokalizace hlavní části vlnového paketu se nachází v blízkosti hlavního maxima. Nejracionálnější je „určit“, že tato oblast odpovídá polovině vzdálenosti mezi prvními nulami funkce ( ). Pak se ukazuje, že . Tudíž, $\Delta r$ $\xi$ $B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}$ $\xi _{0}=\pm \pi$ $\Delta \xi ={\frac {\Delta k\Delta r}{2))=\pi$

\Delta k\Delta r=2\pi .

Matematicky vzato je však vlnová funkce nenulová a mimo balíček, takže by bylo správnější napsat

\Delta k\Delta r\geqslant 2\pi

Protože ( je vlnová délka) a ( je Planckova konstanta (není redukována!)), lze tuto nerovnost také přepsat jako ${\displaystyle k=2{\pi }/{\lambda ))$ ${\displaystyle {\lambda ))$ ${\lambda }=h/p$ $h$

{\Delta }p{\Delta }r{\geq }h

Představuje Heisenbergův vztah neurčitosti , jeden z nejzákladnějších principů kvantové mechaniky. Tento poměr platí pro všechny vlnové procesy bez výjimky, bez ohledu na jejich povahu. Takže v radiotechnice a optice existuje neslučitelnost akutní lokalizace odpovídajících vlnových procesů v čase a prostoru s úzkým frekvenčním spektrem. Například selektivní rádiový přijímač ( ) není schopen zachytit signály s krátkým časem atd. ${\Delta }{\omega }~{\rightarrow }~0$

Šíření vlnových paketů

Nakonec uvažujme podmínky expanze v Taylorově řadě vyřazené ve výše uvedených vzorcích . Je zřejmé, že taková aproximace není vždy fyzicky opodstatněná. Při absenci disperze ( ), kdy se všechny monochromatické vlny tvořící vlnový balík šíří stejnou fázovou rychlostí, počáteční tvar vlnového balíku se s časem nemění a maximum jeho amplitudy se pohybuje počáteční rychlostí rovnou fázová rychlost. Je-li však rozptyl odlišný od nuly ( ), to znamená, jsou-li fázové rychlosti jednotlivých vlnových složek různé, počáteční tvar paketu se časem změní, tedy rozšíří. ${\omega }$ ${\omega _{2}}=0$ ${\omega _{2}}~{\not =}~0$

Odhadněme dobu šíření vlnového paketu. K tomu je nutné při uvažování integrálu vzít v úvahu kvadratický člen Taylorovy řady , který je v první aproximaci vyřazen. Zohlednění vede k další fázi ${\frac {A}({\Delta }k))\int \limits _{k_{0}-{\frac ({\Delta }k}{2))}^{k_{0}+ {\frac {{\Delta }k}{2}}}{\mathsf {exp}}(-i({\omega }t-kr))\,{\mathsf {d}}k$ ${\omega _{2}}(k)={\omega _{0}''}{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}$

{\Delta }{\xi }~{\sim }~{\frac {({\Delta }k)^{2)){2)){\frac {({\partial }^{2} }{\omega }}{{\částečné }{k}^{2}}}t

což se ukáže jako zásadní, pokud dosáhne řádu . Pro dobu šíření vlnového paketu tedy získáme výraz ${\pi }$ ${\Delta }t$

{\Delta }t~{\cong }~{\frac {2{\pi }}({\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{\partial }{ k}^{2}}}({\Delta }k)^{2}}}

Získané závěry nyní aplikujeme na de Broglieho vlny. V první řadě věnujeme pozornost skutečnosti, že amplituda paketu je znatelně odlišná od nuly pouze v malé oblasti prostoru, což může být spojeno s umístěním částice. Dále, v konkrétním případě de Broglieových vln ( ), skupinová rychlost částice jako celku $E={\hbar }{\omega },~~p={\hbar }k$

{\bar {u}}={\frac {{\partial }{\omega }}({\partial }k}}={\frac {{\partial }E}{{\partial }p} }={\frac {{c^{2}}p}{E}}=v

přesně rovna rychlosti samotné částice. Díky tomu je možné porovnávat pohyb hlavních maxim vlnových paketů s pohybem jednotlivých částic. Polohu částice v prostoru lze tedy charakterizovat druhou mocninou vlnové amplitudy , která je současně druhou mocninou modulu vlnové funkce. $proti$ ${B^{2}}={{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Nyní zjistíme: je možné spojit "psy"-vlny se strukturou samotné částice, nebo popisují pouze její pohyb? Úhel pohledu, který uvádí, že je to možné, navrhl Erwin Schrödinger krátce po svém objevu základní rovnice kvantové mechaniky , který navrhl, že částice by měla být shluk vln rozprostřených v prostoru a její hustota při dané hustotě. bod se rovná . Tato interpretace se však ukázala jako neudržitelná: jak bylo ukázáno výše, fázové rychlosti vln, které tvoří vlnový balík, jsou různé a postupem času se začínají šířit. ${{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Najdeme dobu šíření vlnového balíčku z de Broglieho vln. V tomto případě se kvadratický člen z výše uvedené Taylorovy řady, který určuje rozptyl, bude rovnat

{\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{({\partial }k}^{2}}}={\hbar }{\frac {{{\partial } ^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}

Pro jednoduchost se omezíme na nerelativistickou aproximaci ( je klidová hmotnost částice). Pak: $p~{\ll }~{m_{0}}c~,$ ${m_{0))$

{\frac {{\partial }E}{{\partial }p}}={\frac {p}{m_{0}}},~~~~~~{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}={\frac {1}{m_{0}}}

Pro odhad doby šíření vlnového paketu získáme (podle vztahu nejistoty a podobně jako ve výše uvedeném vzorci):

{\Delta }t~{\approx }~{\frac {h}({\frac {({\partial }^{2}}{E}}{{\partial }{p}^{2 ))}({\Delta }p)^{2}}}~{\cca }~{\frac {{m_{0}}({\Delta }r)^{2}}{h}}

V případě makroskopické částice o hmotnosti například 1 gram a velikosti cm bude doba šíření sek, to znamená, že se takový vlnový balíček ve skutečnosti nerozšíří. V případě mikročástice, jako je elektron, jejíž hmotnost je v řádu gramů, cm, se vlnový balíček rozšíří téměř okamžitě: sek. Vzhledem k tomu, že vlnový balík mikročástice se obecně šíří velmi rychle, pro úspěšné popsání jejich (částic) by měl být vlnový balík složen z vln, jejichž vlnový rozsah je malý, tedy . ${{\Delta }r}=0,1$ ${{\Delta }t}={10^{25}}$ ${10^{-27))$ ${{\Delta }r}~{\sim }~{10^{-13}}$ ${{\Delta }t}~{\sim }~{10^{-26))$ ${{\Delta }k}~{\ll }~{k_{0))$

Pokud by tedy byl správný názor, kterého se Schrödinger v tomto ohledu držel, elektron by nemohl být stabilní formací. Navíc by bylo nemožné vysvětlit fenomén difrakce nahrazením elektronového paprsku množstvím vlnových paketů.

V současnosti je přijímána jiná, „statistická“ interpretace -vlny, kterou navrhl Max Born . Podle této interpretace má hodnota význam pravděpodobnosti (nebo hustoty pravděpodobnosti ) nalezení částice v daném bodě prostoru nebo nekonečně malého (obecně jen velmi malého) objemového prvku. ${\psi}$ ${{{\mid }{\psi }{\mid }}^{2}}=({\psi }^{*}}{\psi }$

Statistická interpretace navržená Bornem nevztahuje vlnovou funkci ke struktuře částice. Konkrétně nic „nebrání“ elektronu , aby zůstal obecně bodový. Při změně vlnové funkce se mění pouze pravděpodobnost nalezení částice v určitém bodě prostoru. Ve světle této myšlenky je šíření vlnového balíčku v rozporu se stabilitou částice. V limitujícím případě monochromatické vlny lze částici nalézt se stejnou pravděpodobností v libovolném bodě prostoru.

Viz také

Poznámky

↑ Wave packet - článek z Fyzické encyklopedie
↑ Poznámka: Ve vzorcích zde a níže prvočísla označují diferenciaci vzhledem k vlnovému číslu $k$

Literatura

AA Sokolov, IM Ternov Kvantová mechanika a atomová fyzika. - M. : "Osvícení", 1970. § 3.
L. A. Gribov, S. P. Mushtakova Quantum Chemistry. - M .: "Gardariki", 1999. Kapitola 1, s. čtrnáct.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - 6. vydání, přepracované. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. — Vydání 3, stereotypní. - M .: Fizmatlit , MIPT , 2002. - T. IV. Optika. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .