Konvexní funkční

Konvexní funkcionál je funkcionál , který je konvexní funkcí , to znamená, jehož epigraf je konvexní množina .

Formálně se funkcionál definovaný v lineárním prostoru nazývá konvexní, pokud [1] platí : $p$ $L$

p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\ alfa+\beta=1

.

Příklady konvexních funkcionálů jsou polonorma , norma , lineární funkcionál a Minkowského funkcionál konvexní a symetrické množiny.

Jestliže a jsou konvexní funkcionály, je kladné číslo, pak jsou následující funkcionály konvexní: $p$ $q$ $\alpha$

$(p+q)(x)=p(x)+q(x)$
$(\alpha p)(x)=\alpha p(x)$
$(p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))$
Nekonečná konvoluce: $(p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))$

Teorie konvexních funkcionálů se využívá v konvexním programování [2] .

Odkazy

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Prvky konvexní a silně konvexní analýzy. — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Konvexní funkcionál - článek z Encyklopedie matematiky . V. M. Tichomirov

Poznámky

↑ Pšenice, 1969 , s. 37.
↑ Pšenice, 1969 , s. 49.

Literatura

Pšenice B.N. Nutné podmínky pro extrém. — M .: Nauka, 1969. — 150 s.