Hyperbolita ve smyslu Gromova

Hyperbolita ve smyslu Gromova nebo -hyperbolicita je globální charakteristika metrického prostoru , zhruba řečeno, připomínající negativitu zakřivení; zejména Lobačevského prostor je hyperbolický ve smyslu Gromova. $\delta$

Hyperbolicita ve smyslu Gromova se uplatňuje především v geometrické teorii grup . Poskytuje geometrickou interpretaci pro malé skupiny

Definice

Mezera je -hyperbolická pro jakékoli body $X$ $\delta$ $x,y,z\v X$

(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,

kde označuje produkt Gromova : $(x,y)_{p}$

(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|xy|_{X}+|xz|_{X}-|yz|_{X }{\big )}.

Poslední nerovnost je ekvivalentní

|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+|qx |_{X}\}+2\cdot \delta

za jakékoli body . $p,q,x,y\in X$

Existuje mnoho dalších definic (někdy se několikrát liší). Například následující: pokud je prostor geodetický , pak je tato podmínka ekvivalentní skutečnosti, že pro libovolné body x, y, z prostoru leží segment geodetické [xy] v sousedství spojení [xz] a [yz]. Jinými slovy, na nejkratším [xy] je bod t takový, že [xt] leží v -sousedství [xz] a [ty] leží v -sousedství [zy]. $\delta$ $X$ $\delta$ $\delta$ $\delta$

Vlastnosti

Hyperbolicita je invariantem kvazi-izometrických transformací. Díky tomu hyperbolicita skupiny nezávisí na volbě systému generátorů použitých pro specifikaci metriky slovní zásoby .
Pokud prostor obsahuje izometrickou kopii , nemůže být hyperbolický. Zejména kartézský součin téměř nikdy $\mathbb {R} ^{2}$ [ objasnit ] nemůže být hyperbolické.
Injektivní trup -hyperbolického prostoru je -hyperbolický. [jeden] $\delta$ $\delta$
- Konkrétně jakýkoli -hyperbolický prostor je izometrický k podmnožině v geodetickém -hyperbolickém prostoru. $\delta$ $\delta$

Příklady

Každý kompaktní prostor je hyperbolický.
Každý strom je 0-hyperbolický prostor.
Lobačevského rovina je hyperbolická ve smyslu Gromova. Za předpokladu, že se zakřivení rovná Lobačevského rovině, je -hyperbolické (ve smyslu čtyřbodové definice). $-jeden$ $\ln(2)$
- Navíc každý prostor je hyperbolický. $\mathrm {CAT} (-1)$ $\ln(2)$

Poznámky

↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Rogere. Metrická stabilita stromů a úzkých rozpětí // Arch . Matematika. (Basilej). - 2013. - Sv. 101 , č. 1 . — S. 91–100 .

Odkazy

P. de la Harp, E. Gies, Hyperbolické skupiny podle Michaila Gromova

Michail Gromov, Hyperbolické skupiny. Eseje z teorie grup, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.