Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza

Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza  je matematická hypotéza o vlastnostech eliptických křivek , jednoho z problémů tisíciletí , za jehož řešení nabídl Clay Institute cenu 1 milion dolarů .

Při hledání odpovědi na otázku, za jakých podmínek mají diofantické rovnice ve formě algebraických rovnic řešení v celých a racionálních číslech [1] ,  navrhli Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer na počátku 60. let, že hodnost eliptické křivky nad pole se rovná řádu nuly Hasse-Weyl zeta funkcí v bodě . Přesněji řečeno, domněnka říká, že existuje nenulová mez , kde hodnota závisí na jemných aritmetických invariantech křivek. Na základě dat numerických experimentů se předpokládalo [2] , že asymptotika je pravdivá

kde  je počet celočíselných bodů na křivce s hodností modulo ,  je konstanta.

Dohad je jediný relativně jednoduchý obecný způsob, jak vypočítat hodnost eliptických křivek .

Nejdůležitější výsledky

V roce 1977 John Coates a Andrew Wiles dokázali tvrzení, které platí pro velkou třídu eliptických křivek, že pokud křivka obsahuje nekonečně mnoho racionálních bodů, pak .

V roce 1986 Benedict Gross a Don Zagier ukázali, že pokud má modulární eliptická křivka nulu prvního řádu v , pak má racionální bod nekonečného řádu ( Gross–Zagierův teorém );

V roce 1989 Viktor Kolyvagin ukázal, že modulární eliptická křivka , pro kterou se nerovná nule, má hodnost 0 a modulární eliptická křivka , která má nulu prvního řádu v s = 1, má hodnost 1.

V roce 1991 Karl Rubin ukázal, že pro eliptické křivky definované nad imaginárním kvadratickým polem s komplexním násobením , je- li -řada eliptické křivky nenulová v s = 1, pak p-část Tate-Shafarevichovy skupiny měla předpovězenou pořadí podle Birchovy domněnky a Swinnerton-Dyer pro všechna prvočísla .

V roce 1999 Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond a Richard Taylor dokázali teorém modularity (že všechny eliptické křivky definované nad racionálními čísly jsou modulární), což rozšiřuje výsledky #2 a #3 na všechny eliptické křivky nad racionálními čísly a ukazuje, že -funkce všech eliptických křivek přes jsou definovány pro s = 1.

V roce 2015 Arul Shankar a Manjul Bhargava dokázali, že střední hodnota Mordell–Weilovy skupiny pro eliptickou křivku nad je ohraničena 7/6.

Poznámky

  1. ↑ Stuart, 2015 , str. 360.
  2. ↑ Birch-Swinnerton-Dyer, 1965 .

Literatura