Hasse-Weil zeta funkce

Hasse-Weyl zeta funkce je obdobou Riemannovy zeta funkce , která je sestavena složitějším způsobem z počtu bodů variety v konečném poli. Jedná se o komplexní analytickou funkci, u eliptických křivek její chování v blízkosti bodu 1 úzce souvisí se skupinou racionálních bodů této eliptické křivky.

Funkce Hasse-Weyl zeta jako globální L-funkce

Hasse-Weylova zeta funkce, připojená k algebraické rozmanitosti definované přes algebraické číselné pole , je jedním ze dvou nejdůležitějších typů L-funkcí . Takové L -funkce se nazývají globální , protože jsou definovány jako Eulerův součin lokálních zeta funkcí . Tvoří jednu ze dvou hlavních tříd globálních L - funkcí a druhou jsou L - funkce spojené s automorfními reprezentacemi . Hypoteticky se předpokládá, že existuje pouze jeden základní typ globální L -funkce se dvěma popisy (jeden z nich pochází z algebraické variety, druhý z automorfní reprezentace); toto by bylo široké zobecnění Taniyama-Shimurovy domněnky , nejhlubšího a nejnovějšího výsledku (od roku 2009) v teorii čísel . $PROTI$ $K$

Popis Hasse-Weil zeta funkce až po konečný počet faktorů jejího Eulerova součinu je poměrně jednoduchý. Toto přišlo z počátečních úvah Hasse a Weyl , motivovaný případem kde je jediný bod a Riemann zeta funkce. $PROTI$

Vezmeme-li případ u je nesingulární projektivní varieta , můžeme uvažovat modulovou redukci pro téměř všechna prvočísla , tedy algebraickou varietu nad konečným tělesem . Téměř pro každého to bude nespeciální. Dirichletovu řadu definujeme jako komplexní proměnnou , která je nekonečným součinem všech prvočísel lokálních zeta funkcí . Pak je podle naší definice dobře definováno pouze do násobení racionální funkcí to v konečném počtu argumentů tvaru . $K=\mathbb {Q}$ $PROTI$ $p$ $PROTI$ $p$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ $\zeta _{V,p}(p^{-s})$ $Z(s)$ ${\displaystyle p^{-s))$

Protože tato neurčitost je relativně neškodná a má všude meromorfní rozšíření , existuje smysl, ve kterém jsou vlastnosti na ní v podstatě nezávislé. Zejména, ačkoli přesný tvar funkcionální rovnice pro , bude určitě záviset na chybějících faktorech, existence takové funkcionální rovnice nebude záviset na těchto faktorech. $Z(s)$ $Z(s)$

Jasnější definice Hasse-Weil zeta funkce byla umožněna rozvojem étale cohomology ; úhledně vysvětlují, co dělat s chybějícími faktory při špatné redukci. Podle obecných principů viděných v teorii větvení nesou prvočísla se špatnou redukcí dobrou informaci ( teorie vodičů ). To se projevuje v teorii etales v Ogg-Neron-Shafarevich kritériu pro dobrou redukci , totiž že v určitém smyslu existuje dobrá redukce všech prvočísel , pro něž je Galoisova reprezentace na etalové cohomologii skupiny nerozvětvená . Pro ně může být definice lokální zeta funkce obnovena z hlediska charakteristického polynomu , kde je Frobeniův endomorfismus pro . Co se stane, když se rozvětví , je něco, co je v setrvačné skupině netriviální . Pro taková prvočísla musí být definice opravena tím, že se vezme největší podíl zobrazení, na kterém setrvačná grupa působí , triviálním zobrazením . Díky tomuto zdokonalení lze definici úspěšně upgradovat z téměř všech na všechny , které jsou součástí produktu Euler. Důsledky z funkční rovnice byly vyvinuty Serre a Deligne v pozdních šedesátých létech; samotná funkcionální rovnice nebyla vůbec prokázána. $p$ $\rho$ $PROTI$ $\rho (\operatorname {Frob} (p)),$ $\operatorname {Frob} (p)$ $p$ $p$ $\rho$ $já(p)$ $\rho$ $Z(s)$ $p$ $p$

Příklad: eliptická křivka nad polem racionálních čísel

Dovolit být eliptická křivka přes c vodič , a být libovolné prvočíslo. Pak má dobrou redukci pro všechny , nikoli dělení , má multiplikativní snížení , pokud dělí , ale nedělí , a má aditivní snížení v ostatních případech (to znamená, pokud dělí ). Poté Hasse-Weilova zeta funkce nabývá tvaru $E$ $\mathbb {Q}$ $N$ $p$ $E$ $p$ $N$ $p$ $N$ $p^{2}$ $N$ $p^{2}$ $N$ $E$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Zde je obvyklá Riemannova zeta funkce a nazývá se L - funkce , která má tvar $\zeta (s)$ $L(s,E)$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

kde je dáno , $p$

L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ if )) p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\mid N{\text{ a }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{ if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

kde v případě dobrého snížení a v případě násobného snížení v závislosti na tom, zda nebo je odděleno nerozděleným násobným snížením v . $a_{p}=p+1-{\text{počet teček v }}E{\bmod {p}}$ $a_{p}=\pm 1$ $E$ $p$

Hypotéza Hasse-Weyla

Hasse-Weilova domněnka říká, že Hasse-Weilova zeta funkce musí být analyticky rozšířena na meromorfní funkci na celé komplexní rovině a musí splňovat funkční rovnici podobnou funkcionální rovnici pro Riemannovu zeta funkci. Pro eliptické křivky nad racionálními čísly vyplývá Hasse-Weilova domněnka z teorému modularity .

Viz také

Aritmetická funkce zeta

Literatura

Koblitz N. Úvod do eliptických křivek a modulárních forem. - Novokuzněck: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 s. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[So. práce editované J. Bersteinem a St. Gelbartem Úvod do programu Langlands] = An Introduction to the Langlands Program. - Moskva, Iževsk: Výzkumné centrum "Regulární a chaotická dynamika", 2008. - S. 118. - 368 s. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

L -funkce v teorii čísel
Analytické příklady	Riemann zeta funkce L -Dirichletovy funkce L -funkce znaků Hecke Automorphic L -functions třída Selberg
Algebraické příklady	Dedekind zeta funkce Artin L -funkce Hasse-Weyl L -funkce Motive L -functions
Věty	Analytický vzorec pro počet tříd Riemann-von Mangoldtův vzorec Weilovy hypotézy
Analytické hypotézy	Riemannova hypotéza Zobecněné Riemannovy hypotézy Lindelöfova hypotéza Ramanujanova hypotéza Artinova hypotéza
Algebraické dohady	Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza Deligneho domněnka Beilinsonovy hypotézy Bloch-Kato domněnka Langlandsova hypotéza
p - adic L -functions	Hlavní hypotéza teorie Iwasawa Selmer Group Eulerův systém