L-funkce

L - funkce je meromorfní funkce na komplexní rovině spojené s jedním z několika typů matematických objektů . L-série je Dirichletova řada , která obvykle konverguje v polorovině a kterou lze analyticky rozšířit na L-funkci v celé komplexní rovině.

Teorie L-funkce se stala velmi zásadní, i když stále převážně hypotetickou součástí moderní analytické teorie čísel . V něm jsou konstruovány široké zobecnění Riemannovy zeta funkce a L-řady pro Dirichletovy znaky a jejich obecné vlastnosti v naprosté většině případů ještě nejsou k dispozici pro důkaz v systematické prezentaci.

Budova

Budeme rozlišovat mezi L-řadami , tedy reprezentacemi pomocí řad (například Dirichletova řada pro Riemannovu zeta funkci) a L - funkcemi , tedy analytickými pokračováními funkce na celé komplexní rovině. Obecná konstrukce začíná sérií L , nejprve definovanou jako Dirichletův rad, a jejich rozkladem na Eulerův součin s indexem probíhajícím přes prvočísla. Úvaha vyžaduje důkaz konvergence řady v nějaké pravé polorovině oboru komplexních čísel. Poté je dotázáno, zda lze definovanou funkci analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu (možná s výskytem několika pólů ).

Hypotetické meromorfní rozšíření komplexní roviny se nazývá L - funkce . V klasických případech je již známo, že užitečné informace jsou obsaženy v hodnotách a chování L - funkce na jejích nulách a pólech. Obecný termín " L - funkce" zde také zahrnuje mnoho typů zeta funkcí . Selbergova třída je pokusem popsat všechny hlavní vlastnosti L - funkcí pomocí sady axiomů za účelem studia vlastností třídy společně, a ne odděleně.

Hypotetické informace

Níže je uveden seznam charakteristik známých L - funkcí, které je žádoucí vidět obecně:

• umístění nul a pólů;
• Funkční rovnice, zohledňující některé svislé čáry ;
• zajímavé hodnoty v celých číslech související s parametry algebraické K-teorie

Podrobná práce byla vytvořena velkým množstvím věrohodných hypotéz, například o přesném typu funkcionální rovnice, která musí platit pro L - funkce. Vzhledem k tomu, že Riemannova funkce zeta vztahuje své hodnoty v kladných sudých celých číslech (a záporných lichých celých číslech) k Bernoulliho číslům , probíhá hledání vhodného zobecnění tohoto jevu. V tomto případě byly získány výsledky pro p-adické L-funkce , které popisují určitý Galoisův modul.

Statistika rozdělení nul je zajímavá kvůli jejich spojení s problémy, jako je zobecněná Riemannova hypotéza , rozdělení prvočísel atd. Zajímavé jsou také souvislosti s teorií náhodných matic a kvantovým chaosem . Zajímavá je také fraktální struktura distribucí [2] . Samopodobnost rozdělení nul je poměrně pozoruhodná a vyznačuje se velkým fraktálovým rozměrem 1,9. Tato poměrně velká fraktální dimenze je nad nulami a pokrývá nejméně patnáct řádů pro Riemannovu zeta funkci, stejně jako pro nuly dalších L-funkcí různých řádů a vodičů.

Birch a Swinnerton-Dyerova hypotéza

Jedním z důležitých příkladů, jak pro historii obecnějších L -funkcí, tak jako stále otevřený výzkumný problém, je domněnka Birche a Swinnerton-Dyera . Dohad říká, jak lze vypočítat úroveň eliptické křivky nad polem racionálních čísel (nebo jiným globálním polem ), to znamená počtem volných racionálních bodových grup, které ji tvoří. Mnoho předchozích prací v této oblasti začalo splývat kolem lepší znalosti L - funkcí. Bylo to jako příklad paradigmatu ve vznikající teorii L - funkcí.

Vzestup obecné teorie

Tento vývoj předcházel Langlandsův program o několik let a lze jej považovat za komplementární k němu: Langlandsova práce se zabývá hlavně Artinovými L-funkcemi a L - funkcemi připojenými k obecné automorfní reprezentaci .

Postupně se ukázalo, v jakém smyslu může konstrukce Hasse-Weil zeta funkce učinit poskytování přípustných L - funkcí funkčním - v analytickém smyslu: musí existovat nějaký příspěvek analýzy, což znamenalo "automorfní" analýzu. Obecný případ nyní spojuje na koncepční úrovni řadu různých výzkumných programů.

Viz také

• Zobecněné Riemannovy hypotézy
• Automorfní L-funkce
• Věta o modularitě
• Artinova hypotéza

Odkazy

1. ↑ Jorn Steuding, Úvod do teorie L-funkcí, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Náhodné matice, zobecněné zeta funkce a sebepodobnost nulových rozdělení  // J. Phys  . A: Matematika. Gen. : deník. - 2006. - Sv. 39 , č. 45 . - S. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .