Teorie náhodných matic

Teorie náhodných matic je směrem výzkumu na průsečíku matematické fyziky a teorie pravděpodobnosti , ve kterém jsou studovány vlastnosti souborů matic , jejichž prvky jsou náhodně distribuovány. Zpravidla je stanoven zákon rozdělení prvků. Přitom se studuje statistika vlastních hodnot náhodných matic a někdy i statistika jejich vlastních vektorů .

Teorie náhodných matric má mnoho aplikací ve fyzice, zejména v aplikacích kvantové mechaniky ke studiu neuspořádaných a klasicky chaotických dynamických systémů . Faktem je, že hamiltonián chaotického systému lze často považovat za náhodnou hermitovskou nebo symetrickou reálnou matici , zatímco energetické hladiny tohoto hamiltoniánu budou vlastními hodnotami náhodné matice.

Poprvé byla teorie náhodných matic aplikována Wignerem v roce 1950 k popisu energetických hladin atomového jádra . Následně se ukázalo, že teorie náhodných matic popisuje mnoho systémů, včetně například energetických hladin kvantových teček , energetických hladin částic v komplexně tvarovaných potenciálech. Jak se ukázalo, teorie náhodných matic je aplikovatelná na téměř jakýkoli kvantový systém, jehož klasický protějšek není integrovatelný . Zároveň existují značné rozdíly v rozložení úrovní energie: rozložení úrovní energie v integrovatelném systému se zpravidla blíží Poissonově distribuci , zatímco u neintegrovatelného systému má jinou formu, což je charakteristické pro náhodné matice (viz níže).

Teorie náhodných matic se ukázala jako užitečná pro zdánlivě cizí úseky matematiky, zejména rozložení nul Riemannovy zeta funkce na kritické přímce lze popsat pomocí souboru náhodných matic [1] .

Základní soubory náhodných matic a jejich aplikace ve fyzice

Existují tři hlavní typy souborů náhodných matic, které mají aplikace ve fyzice. Jedná se o Gaussův ortogonální soubor , Gaussův unitární soubor , Gaussův symplektický soubor .

Gaussův unitární soubor - nejobecnější soubor, sestává z libovolných hermitovských matic, jejichž reálné a imaginární části prvků mají gaussovské rozložení . Systémy popsané gaussovským unitárním souborem postrádají jakoukoli symetrii – jsou neinvariantní při obrácení času (takovou vlastnost mají například systémy ve vnějším magnetickém poli) a neinvariantní při rotaci rotace.

Gaussův ortogonální soubor se skládá ze symetrických reálných matic. Gaussův ortogonální soubor popisuje systémy, které jsou symetrické vzhledem k časové reverzaci, což v praktických případech znamená absenci magnetického pole a magnetických nečistot v takových systémech.

Gaussův symplektický soubor sestává z hermitovských matic, jejichž prvky jsou čtveřice . Gaussův symplektický soubor popisuje systém obsahující magnetické nečistoty, ale ne ve vnějším magnetickém poli.

Nejdůležitější charakteristiky spektra náhodných matic

Distribuce vlastních čísel

Rozložení vlastních hodnot dostatečně velké Gaussovy náhodné matice je v první aproximaci půlkruh ( Wignerův zákon o půlkruhech ). Wignerův zákon polokruhu je splněn v limitě, do jisté míry odpovídající semiklasické aproximaci v kvantové mechanice , je splněn přesněji, čím větší je velikost analyzované matice. Při konečné velikosti matice má rozložení energetických hladin Gaussovy „ocasy“. Půlkruhy jsou získány pro všechny gaussovské soubory, na této úrovni všechny tři výše uvedené soubory poskytují ekvivalentní distribuce. Kvalitativní rozdíly mezi těmito třemi soubory se projevují na další úrovni, na úrovni párových korelačních funkcí vlastních hodnot. $\nu (E)\propto {\sqrt {E_{0}^{2}-E^{2))}$

Korelační funkce vlastních čísel

Poznámky

↑ Keating a kol., 2000 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Random Matrix (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Literatura

Mehta M. L. Náhodné matice. - 3. vyd. - New York: Academic Press, 1991.
Keating JP , Snaith NC Teorie náhodných matic a $\zeta (1/2+it)$ (anglicky) // Commun. Matematika. Phys. : časopis. - 2000. - Sv. 214 . — S. 57–89 .