Dirichlet L-funkce

Dirichletova L - funkce je komplexní funkce daná vzorcem v(v případě hlavního znaku at). $L_{{\chi }}(y)$ $\operatorname {Re}\,s>0$ $\operatorname {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

kde je nějaký číselný znak (modulo k ). Dirichletovy funkce byly zavedeny, aby dokázaly Dirichletův teorém o prvočíslech v aritmetickém postupu , jehož ústředním bodem je důkaz nerovnosti pro nehlavní znaky. $\chi (n)$ $L$ $L_{\chi }(1)\neq 0$

Eulerův produkt pro Dirichlet L-funkce

Díky multiplikativitě číselného znaku může být Dirichletova funkce reprezentována v oboru jako Eulerův součin nad prvočísly : $\chi$ $L$ $\operatorname {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Tento vzorec vede k četným aplikacím -funkcí v teorii prvočísel. $L$

Vztah k funkci zeta

$L$ Dirichletova funkce odpovídající hlavnímu znaku modulo k souvisí s Riemannovou zeta funkcí vzorcem $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ že jo)

Tento vzorec nám umožňuje definovat pro oblast s jednoduchým pólem v bodě . $L_{{\chi _{0}}}(y)$ $Re(s)>0$ $s=1$

Funkční rovnice

Stejně jako Riemannova funkce splňuje -funkce podobnou funkcionální rovnici. $L$

Definujeme následovně: jestliže je funkce gama , je sudý znak, pak $\Lambda (\chi ,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)

Pokud je to zvláštní postava, pak $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Nechť je také Gaussův součet charakteru a pro sudé a pro liché . Pak má funkční rovnice tvar: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Viz také

Řada Dirichlet

Literatura

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Úvod do teorie čísel. - M .: Nakladatelství Moskevské univerzity, 1984.
Karatsuba A. A. Základy analytické teorie čísel. - 3. vyd. — M .: URSS, 2004.

L -funkce v teorii čísel
Analytické příklady	Riemann zeta funkce L -Dirichletovy funkce L -funkce znaků Hecke Automorphic L -functions třída Selberg
Algebraické příklady	Dedekind zeta funkce Artin L -funkce Hasse-Weyl L -funkce Motive L -functions
Věty	Analytický vzorec pro počet tříd Riemann-von Mangoldtův vzorec Weilovy hypotézy
Analytické hypotézy	Riemannova hypotéza Zobecněné Riemannovy hypotézy Lindelöfova hypotéza Ramanujanova hypotéza Artinova hypotéza
Algebraické dohady	Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza Deligneho domněnka Beilinsonovy hypotézy Bloch-Kato domněnka Langlandsova hypotéza
p - adic L -functions	Hlavní hypotéza teorie Iwasawa Selmer Group Eulerův systém