Gaussův součet

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. června 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Gaussův součet je v matematice chápán jako určitý druh konečných součtů odmocnin z jednoty , zpravidla zapsaných ve tvaru

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

Zde součet přebírá všechny prvky r nějakého konečného komutativního kruhu R , ψ( r ) je homomorfismus aditivní grupy R + do jednotkového kruhu a χ ( r ) je homomorfismus grupy jednotek R × do jednotkový kruh rozšířený o 0. Gaussovy součty jsou analogické k gama funkcím pro případ konečných polí .

Tyto součty se často vyskytují v teorii čísel , zejména ve funkčních rovnicích Dirichletových L-funkcí .

Carl Friedrich Gauss použil vlastnosti součtů k řešení některých problémů v teorii čísel, konkrétně je aplikoval v jednom z důkazů kvadratického zákona reciprocity . Zpočátku byly Gaussovy součty chápány jako kvadratické Gaussovy součty , pro které R je pole zbytků modulo p a χ je Legendreův symbol . Pro tento případ Gauss ukázal, že G (χ) = p 1/2 nebo ip 1/2 , když p je shodné s 1 nebo 3 modulo 4, v tomto pořadí.

Alternativní forma zápisu Gaussova součtu:

\sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}

Obecná teorie Gaussových součtů byla vyvinuta na počátku 19. století pomocí Jacobiho součtů a jejich primárních faktorizací v kruhových polích .

Význam Gaussových součtů pro teorii čísel byl odhalen až ve 20. letech 20. století. V této době Hermann Weyl aplikoval obecnější trigonometrické součty na studium rovnoměrných distribucí , později nazývané Weylovy součty. Současně I. M. Vinogradov použil Gaussovy součty k získání horního odhadu pro nejmenší kvadratický nezbytkový modulo p. Gaussovy součty umožňují vytvořit spojení mezi dvěma důležitými objekty teorie čísel: multiplikativními a aditivními znaky. Kvadratické Gaussovy součty jsou úzce spjaty s teorií θ-funkcí .

Absolutní hodnota Gaussových součtů se obvykle nalézá pomocí Plancherelovy věty pro konečné grupy . V případě, kdy R je pole p prvků a χ je netriviální, absolutní hodnota je rovna p 1/2 . Vypočítat přesnou hodnotu celkových Gaussových součtů není snadný úkol.

Vlastnosti Gaussových součtů pro Dirichletův znak

Gaussův součet pro Dirichletovu postavu modulo N

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

Pokud je χ primitivní, pak

|G(\chi )|={\sqrt {N)),

a zejména se nerovná nule. Obecněji, pokud N 0 je vodič znaku χ a χ 0 je primitivní Dirichletův znak modulo N 0 , který indukuje χ, pak

G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})

kde μ je Möbiova funkce .

Z toho plyne, že G (χ) je nenulové právě tehdy, když N / N 0 je bez čtverce a relativně prvočíslo k N 0 .

Vztah

G({\overline {\chi )))=\chi (-1){\overline {G(\chi ))),

kde χ je komplexní konjugace Dirichletova znaku.

Jestliže χ′ je Dirichletův znak modulo N ′ tak, že N a N ′ jsou coprime, pak

G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime } ).

Viz také

Chole-Mordellova věta
Eliptický součet Gauss

Literatura

Berndt, BC; Evans, RJ; Williams, K. S. Gauss a Jacobi Sums. - Wiley, 1998. - (Canadian Mathematical Society Series of Monografs and Advanced Texts). - ISBN 0-471-12807-4 .
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael. Klasický úvod do moderní teorie čísel . — 2. - Springer-Verlag , 1990. - Sv. 84. - ( Absolventské texty z matematiky ). — ISBN 0-387-97329-X .
Oddíl 3.4 publikace Iwaniec, Henryk & Kowalski, Emmanuel (2004), Analytická teorie čísel , sv. 53, American Mathematical Society Colloquium Publications, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0
Artin E., Tate J., Class field theory, NY-Amst., 1967;

Vydání v ruštině

Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel.
Carl Friedrich Gauss. So. články, M., 1956;
Vinogradov I. M. Metoda goniometrických součtů v teorii čísel, M., 1971;
Davenport G. Multiplikativní teorie čísel, přel. z angličtiny, M., 1971;
Prahar K. Rozdělení prvočísel , přel. z němčiny, M., 1967;
Hasse G. Přednášky o teorii čísel, přel. z němčiny, M., 1953.

Jig postava

Algebraická teorie čísel, přel. z angličtiny, M., 1969;
Serre J.-P. Abelovské l-adické reprezentace a eliptické křivky , přel. z angličtiny, M., 1973.