Skupina (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. května 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Skupina v matematice je neprázdná množina , na které je definována asociativní binární operace , a pro tuto operaci existuje neutrální prvek (analogický k jednotě pro násobení) a každý prvek množiny má inverzní . Obor obecné algebry , který se zabývá grupami, se nazývá teorie grup [1] .

Jedním příkladem skupiny je množina celých čísel vybavených operací sčítání : součet jakýchkoli dvou celých čísel také dává celé číslo, nula hraje roli neutrálního prvku a číslo s opačným znaménkem je inverzní prvek. Dalšími příklady jsou množina reálných čísel s operací sčítání, množina rotací rovin kolem počátku . Díky abstraktní definici grupy prostřednictvím systému axiomů , který není vázán na specifika generujících množin, vytvořila teorie grup univerzální aparát pro studium široké třídy matematických objektů nejrozmanitějšího původu z hlediska obecné vlastnosti jejich struktury . Všudypřítomnost grup v matematice i mimo ni z nich dělá zásadní konstrukt v moderní matematice a jejích aplikacích.

Skupina zásadně souvisí s pojmem symetrie a je důležitým nástrojem při studiu všech jejích projevů. Například skupina symetrie odráží vlastnosti geometrického objektu: skládá se ze sady transformací , které ponechávají objekt beze změny, a operace sloučení dvou takových transformací, které následují po sobě. Skupiny symetrie, jako jsou bodové skupiny symetrie, jsou užitečné při porozumění fenoménu molekulární symetrie v chemii; skupina Poincare charakterizuje symetrii fyzického časoprostoru a ve standardním modelu fyziky elementárních částic se používají speciální unitární skupiny [2] .

Pojem grupy zavedl Evariste Galois při studiu polynomů ve 30. letech 19. století [3] .

Moderní teorie grup je aktivním odvětvím matematiky [4] . Jeden z nejpůsobivějších výsledků byl dosažen v klasifikaci jednoduchých konečných grup , která byla dokončena v roce 1981 : důkazem věty jsou desítky tisíc stran stovek vědeckých článků od více než stovky autorů publikovaných od roku 1955, ale články se nadále objevují kvůli detekovatelným mezerám v důkazu [5] . Od poloviny 80. let prošla geometrická teorie grup , která studuje finitně generované grupy jako geometrické objekty, významného rozvoje.

Definice

Neprázdná množina s definovanou binární operací : se nazývá skupina , pokud platí následující axiomy : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

asociativita : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
přítomnost neutrálního prvku : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
přítomnost inverzního prvku : . $\forall a\in G\quad \existuje a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Poslední dva axiomy lze nahradit jedním axiomem existence inverzní operace $*$ :

$\forall (a,b\v G)\quad \exists (x,y\in G)\dvojtečka (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Navíc výše uvedené axiomy nejsou striktně minimální. Pro existenci neutrálního a inverzního prvku stačí mít levý neutrální prvek a levý inverzní prvek. Zároveň lze dokázat, že se bude automaticky jednat o obyčejné neutrální a inverzní prvky [6] .

Související definice

Obecně se od skupiny nevyžaduje, aby splňovala vlastnost komutativnosti .
- Dvojice prvků, pro které platí rovnost , se nazývají dojíždění nebo dojíždění . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- Množina prvků, které permutují všechny prvky skupiny, se nazývá střed skupiny .
- Skupina ve kterém nějaké dva prvky dojíždět se nazývá komutativní nebo abelian .
Podskupina je podmnožinouskupiny, která je skupinou s ohledem na operaci definovanou v. $H$ $G$ $G$
Pořadí skupiny je mocnina (tedy počet jejích prvků). $(G*)$ $G$
- Pokud je množina konečná, pak se o grupě říká, že je
konečná . $G$

Skupinové homomorfismy jsou zobrazení skupin, která zachovávají strukturu skupiny. To znamená, že zobrazení skupin se nazývá homomorfismus , pokud splňuje podmínku .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\krát f(b)

O dvou skupinách se říká , že jsou izomorfní , pokud existují skupinový homomorfismus a skupinový homomorfismus takový, že a , kde a . V tomto případě se tyto homomorfismy nazývají izomorfismy .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\in G

v H

U prvku je levá množina podle podskupiny množina a pravá množina podle podskupiny je množina .

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

Normální podskupina je podskupina zvláštního typu, jejíž levá a pravá koseta se shoduje. Pro jakékoli,.

g\in G

gH=Hg

Kvocientová skupina je množina cosetů skupiny s ohledem na její normální podgrupu, která je sama grupou.

Standardní notace

Multiplikativní zápis

Obvykle se skupinová operace nazývá (abstraktní) násobení ; pak se použije multiplikativní zápis :

výsledek operace se nazývá součin a zapisuje se nebo ; $a\cdot b$ $ab$
neutrální prvek je označen " " nebo a nazývá se jednotka ; $1$ $e$
převrácená hodnota prvku se zapíše jako . $a$ $a^{-1}$

Pokud se skupinová operace nazývá multiplikace , pak se taková skupina sama nazývá multiplikativní a s úplným zápisem (když chtějí explicitně označit skupinovou operaci) jsou označeny následovně :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Vícenásobné součiny , , jsou zapsány jako přirozené mocniny , , [7] . Pro prvek je správně definován celočíselný stupeň [ 8] , zapisuje se takto: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $A$ $a^{0}=e$ ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Aditivní zápis

V komutativní skupině je definující operace často považována za (abstraktní) sčítání a je psána aditivně :

napište " " a nazvěte výsledný prvek součtem prvků a ; $a+b$ $a$ $b$
neutrální prvek je označen jako " " a nazývá se nula ; $0$
inverzní prvek k se označuje jako " " a nazývá se jeho opakem prvku ; $a$ $-a$ $a$
záznam je zkrácen takto: ; $a+(-b)=ab$
výrazy tvaru , , se označují symboly , , . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Pokud se skupinová operace nazývá addice , pak se taková skupina sama nazývá aditivní a s úplným zápisem je označena následovně :. [9] Tento termín se vztahuje pouze na způsob, jakým je operace zapsána ve skupině; je užitečné, když je na sadě definováno více operací. Například lze hovořit o aditivní skupině reálných čísel nebo o multiplikativní skupině kladných reálných čísel . Navíc existují případy, kdy je aditivní skupina izomorfní vůči multiplikativní (viz Kořeny z jednoty ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Příklady

Množina celých čísel vybavených operací sčítání je skupina.
Množina všech racionálních čísel kromě nuly s operací násobení je grupa.

Skupiny se používají v různých oblastech matematiky. Například v topologii zavedením konceptu základní grupy [10] . Kromě teoretické aplikace skupin existuje mnoho způsobů, jak skupiny aplikovat v praxi. Používají se například v kryptografii , která se opírá o výpočetní teorii grup a znalost algoritmů .

Aplikace teorie grup není omezena na matematiku, je široce používána v takových vědách, jako je fyzika , chemie a informatika .

Celá čísla modulo $n$ - výsledkem sčítání modulo je zbytek součtu při dělení . Množina celých čísel od do tvoří s touto operací skupinu. Neutrální prvek je , inverzní prvek k je číslo . Dobrý příklad takové skupiny $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

mohou být hodinky s ciferníkem [11] .

Celá čísla s operací sčítání. je komutativní grupa s neutrálním prvkem. Celá čísla s operací násobení nevytvoří skupinu. Uzávěr, asociativita a existence neutrálního prvku proběhne, ale axiom o existenci inverzního prvku nebude platit. Například, pakto je. Inverzní prvek není celé číslo [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a=2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Kladná racionální čísla s operací násobení. Součin racionálních čísel je opět racionální číslo, reciproký prvek k racionálnímu číslu je reprezentován reciprokou, existuje asociativita a neutrální prvek je jedna [12] .
Volná skupina se dvěma generátory () se skládá z prázdného slova (skupinové jednotky) a všech konečných slov o čtyřech znacích,,atěch, kteráse neobjevují vedleaneobjevují se vedle. Operace násobení takových slov je jednoduše kombinace dvou slov do jednoho následovaná redukcí dvojic,,a [13] . $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Symetrická skupina . Množina všech bijekcí konečné množiny do sebe s operací složení je konečná grupa, která se nazývá symetrická grupa nebo permutační grupa . Mohutnost konečné symetrické grupypro množinuprvků je. Protuto skupinu není abelian [14] . Jakákoli konečná grupa je podgrupou nějaké symetrické grupy ( Cayleyova věta ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n$ $n\geq 3$

Cyklické grupy se skládají z mocninjednoho prvku. Prvekse nazývá generátor cyklické grupy. Cyklické grupy jsou vždy komutativní. Příkladem takové skupiny jsou již zmíněná sčítací celá čísla. Cyklická bude grupa skládající se z komplexních kořenů jednoty , tedy ze skupiny komplexních čísel , která splňují podmínkua operaci násobení komplexních čísel [16] . Multiplikativní konečná grupaje také cyklická. Napříkladje generujícím prvkem skupiny, když: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}

Grupa Rubikovy kostky je podgrupou symetrické grupy,jejíž prvky odpovídají transformacím Rubikovy kostky . Složení dvou transformací je opět transformace, ke každé transformaci je inverzní prvek, existuje asociativita a neutrální prvek [17] . $S_{{48}}$
skupiny Galois . Byly zavedeny do matematiky pro řešení polynomických rovnic v jedné proměnné v radikálech . Například řešení kvadratické rovnice dává kořeny: Pro rovnice třetího a čtvrtého stupně existují podobné vzorce, ale neexistují pro rovnice stupněa vyšší [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

Nejjednodušší vlastnosti

Pro každý prvek je inverzní prvek jedinečný. $A$ $a^{{-1}}$
Neutrální prvek je jedinečný: Pokud jsou neutrální, pak . ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , pro libovolné [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Zákony redukce jsou správné : $c\cdot a=c\cdot b\Šipka doleva doprava a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Šipka doleva doprava a=b$ .
Inverzní prvek k neutrálu je samotný neutrální prvek [19] .
Skupina obsahuje jedinečné řešení libovolné rovnice nebo ; to znamená, že ve skupině jsou možné jednoznačně definované pravé a levé „dělení“ [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Průnik dvou podgrup grupy je podgrupou grupy [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Lagrangeův teorém : jestliže je grupa konečného řádu , pak řád kterékoli z jeho podgrup je dělitelem řádu grupy. Z toho vyplývá, že pořadí libovolného prvku rozděluje i pořadí grupy [21] . $\mathrm {G}$ $g$ $g_{1}$ $\mathrm {G_{1}}$
Lagrangeův teorém a Sylowovy teorémy se používají k určení počtu podskupin ve skupině .

Způsoby nastavení skupiny

Skupinu lze nastavit:

Pomocí generující množiny [22] a množiny vztahů mezi jejími prvky;
Faktorová grupa , kde je nějaká grupa a je její normální podgrupa [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Polopřímý produkt dvou skupin a zejména
- Přímý součin dvou grup a , tedy množiny dvojic vybavených operací komponentového násobení: [24] ; $(G,\cdot )$ $(H,\cdot )$ $G\times H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Volný produkt dvou skupin: volný produkt skupin je skupina, jejíž systém generátorů [25] je spojením systémů generátorů a , a systém relací [26] je spojením systémů relací a [ 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Historie

Moderní pojetí grupy vzniklo z několika oblastí matematiky. Původní hnací silou teorie grup bylo hledání řešení algebraických rovnic stupně většího než čtyři. Francouzský matematik 19. století Évariste Galois poté, co zdokonalil studie Ruffiniho a Lagrange , dal kritérium pro řešitelnost konkrétní algebraické rovnice v podmínkách skupiny symetrie jejích řešení. Prvky takové Galoisovy skupiny odpovídají jistým permutacím kořenů . Galoisovy myšlenky byly odmítnuty jeho současníky a posmrtně publikovány Liouvillem v roce 1846. Cauchy na základě stejné práce jako Galois podrobně studoval permutační skupiny [3] . Pojem konečné grupy poprvé představil Arthur Cayley v roce 1854 ve své práci „ O teorii grup, jak závisí na symbolické rovnici θ n 1 “ [ 28] . $=$

Geometrie je druhou oblastí, kde byly grupy systematicky aplikovány, zejména grupy symetrie jako součást „ Erlangenského programu“ německého matematika Felixe Kleina . Po vzniku nových odvětví geometrie, jako je hyperbolická a projektivní geometrie , Klein použil teorii grup, aby je lépe sladil. Další rozvoj těchto myšlenek vede k zavedení konceptu Lieovy grupy do matematiky v roce 1884 [3] .

Třetí oblastí matematiky, která přispěla k rozvoji teorie grup, je teorie čísel . Některé abelovské skupiny byly implicitně použity v Gauss ' Aritmetical Investigations (1801). V roce 1847 provedl Ernst Kummer první pokusy dokázat Fermatovu poslední větu pomocí skupin popisujících prvočíselné faktorizace. V roce 1870 Kronecker zobecnil Kummerovu práci a dal definici blízkou moderní definici konečné abelovské grupy [3] .

Oddělení teorie grup začalo pojednáním Camille Jordana o změnách a algebraických rovnicích (1870) [29] . Ve 20. století se začala aktivně rozvíjet teorie skupin. Zrodila se průkopnická práce Frobenia a Burnsidea o reprezentaci konečných grup , teorie modulární reprezentace Richarda Braura a Schurovy zápisy . Významný pokrok ve studiu teorie Lieových grup a lokálně kompaktních grup udělali Weyl a Cartan . Algebraickým přídavkem k těmto teoriím byla teorie algebraických grup , poprvé formulovaná Claudem Chevalleyem , později zmíněná v dílech Borela a Sýkorek [3] .

V akademickém roce 1960–61 se na Chicagské univerzitě konal rok teorie grup, který svedl dohromady teoretiky jako Daniel Gorenstein, John Thompson a Walter Feith, a položil tak základy pro spolupráci velkého počtu matematiků, kteří následně odvodili klasifikační teorém pro všechny jednoduché konečné grupy v 80. -s letech. Tento projekt svou velikostí překonal všechny předchozí pokusy o klasifikaci skupin, a to jak délkou důkazů, tak počtem vědců zapojených do této práce. Současný výzkum je zaměřen na zjednodušení klasifikace skupin. V současnosti se teorie grup aktivně rozvíjí a ovlivňuje další odvětví matematiky [5] [30] [31] .

Variace a zobecnění

Grupoid je množina, na které je definována binární operace [32] .
Kvazigrupa je grupoid skládající se z nějaké množiny a binární operace takové, že pro kteroukoli existují jedinečné prvky a takové, že a [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ $y$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
Pologrupa je algebraický systém s asociativní binární operací definovanou na tom . Množina přirozených čísel s operací sčítání tvoří pologrupu [34] .
Množina s definovanou binární operací , která splňuje pouze první dva axiomy, se nazývá monoid . Množina nezáporných celých čísel s operací sčítání tvoří monoid [34] . $G$

Skupiny s dodatečnou strukturou

Mnoho skupin má současně nějakou jinou (dodatečnou) matematickou strukturu. V jazyce teorie kategorií se jedná o skupinové objekty v kategorii ; jinými slovy, jedná se o objekty (tedy např. množiny, které mají určitou matematickou strukturu), pro které je dána třída určitých transformací (nazývaných morfismy ) podle axiomů grupy. Konkrétně každá grupa (v dříve definovaném smyslu) je současně množinou , takže grupa je grupovým objektem v kategorii množin Set (morfismy v této kategorii jsou zobrazení množin) [35] .

Prsteny

Kruh je množina , na které jsou definovány binární operace komutativního sčítání a (ne nutně komutativního) násobení, navíc s ohledem na sčítání K tvoří grupu a násobení je se sčítáním spojeno distributivním zákonem. $K$

Prstenec se nazývá komutativní a asociativní , pokud je na něm uvedená operace násobení komutativní, a tedy asociativní. Prvek prstence se nazývá jednotka, pokud je splněna následující podmínka: , kde je libovolný prvek prstence. $1$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

Číselné množiny Z , Q , R jsou komutativní asociativní kruhy s identitou. Množina vektorů s operací vektorového násobení je antikomutativní kruh (tj ) díky vlastnostem vektorového násobení [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Pole

Pole je komutativní asociativní okruh s jednotkou a s ohledem na sčítání tvoří grupu a jeho nenulové prvky jsou grupou násobením. Pole nemůže obsahovat jedinou nulu. Množiny racionálních a reálných čísel jsou pole. V libovolném poli pouze pokud a/nebo [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Topologické skupiny

Některé topologické prostory mohou být zároveň vybaveny skupinovou strukturou. V tomto případě se takový prostor může ukázat jako topologická skupina .

Topologická grupa je totiž grupa, která je současně topologickým prostorem , a násobení prvků grupy a operace převzetí inverzního prvku se v použité topologii ukazují jako spojitá zobrazení [38] . Topologické grupy jsou skupinové objekty v topologických prostorech Nahoru [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

Nejdůležitější příklady topologických grup jsou aditivní grupa reálů , multiplikativní grupa nenulových reálů , úplná lineární grupa , speciální lineární grupa , ortogonální grupa , speciální ortogonální grupa , unitární grupa , speciální unitární grupa [39 ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $Na)$ $SO(n)$ $U(n)$ $Slunce)$

Skupiny lži

Lieova grupa (na počest Sophuse Lie ) je grupa, která je současně diferencovatelnou varietou nad polem K (pole reálných nebo komplexních čísel může fungovat jako druhé) a násobením prvků grupy a operace. z převzetí inverzního prvku se ukáží hladká zobrazení (ve složitém případě je nutná holomorfie zavedených zobrazení). Navíc jakákoliv komplexní -dimenzionální Lieova grupa je současně skutečnou Lieovou grupou dimenze [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Všechny konkrétní grupy uvedené v předchozí podkapitole jako příklady topologických grup jsou zároveň Lieovy grupy.

Grupy lži vyvstávají přirozeně když zvažuje spojité symetrie ; tedy Lieovu grupu tvoří [41] izometrie tvaru , kde je euklidovský bodový prostor . Výsledná grupa, označená [42] , je podgrupou další Lieovy grupy, afinní grupa prostoru , označená [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Lieovy grupy jsou nejlepší z variet, pokud jde o bohatost struktury, kterou mají, a jako takové jsou velmi důležité v diferenciální geometrii a topologii . Hrají také významnou roli v geometrii, počtu, mechanice a fyzice [40] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Kargapolov M.I., Merzljakov Yu.I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. Evoluce teorie grup: Stručný přehled // Magazín Mathematics : časopis . - 1986. - říjen ( roč. 59 , č. 4 ). - S. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Jen v roce 2005 bylo podle MathSciNet publikováno více než 2 tisíce výzkumných prací v oblasti teorie grup a zobecnění .
↑ 1 2 Gorenstein D. Konečné jednoduché grupy. Úvod do jejich klasifikace = Finite simple Groups. Úvod do jejich klasifikace / ed. A.I. Kostrikin. - Svět. - Moskva: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 s. - 5250 výtisků.
↑ Sagalovich, 2010 , str. padesáti.
↑ Přirozený stupeň prvku je správně určen díky asociativitě
↑ Správnost vyplývá z jedinečnosti inverzního prvku.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Hatcher Allen. Algebraická topologie. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - S. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. Kapitola 5 // Kryptografie v C a C++ v akci . - M .: "Triumph", 2004. - S. 81 -84. — 464 s. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu Geometrie definování relací ve skupině. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzljakov Yu.I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Kurosh A. G. Teorie grup / ed. Brudno K.F. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 s. — 20 000 výtisků.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra a teorie čísel. - Vyšší škola, 1979. - S. 351. - 559 s. - 40 000 výtisků.
↑ Vinberg E. B. Základy teorie grup. - 2. vyd. - Factorial Press, 2001. - S. 162-163. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Analýza Rubikovy kostky pomocí GAP . Získáno 19. července 2013. Archivováno z originálu 5. září 2013.
↑ Postnikov M. M. Galoisova teorie. - Moskva: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. — 220 s. — 11 500 výtisků.
↑ Kargapolov M.I., Merzljakov Yu.I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Sagalovich, 2010 , str. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra a teorie čísel. - Vyšší škola, 1979. - S. 353. - 559 s. - 40 000 výtisků.
↑ Kargapolov M. I., Merzljakov Yu. I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Kargapolov M. I., Merzljakov Yu. I. Základy teorie grup. - 3. vyd. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 s. - 11 800 výtisků.
↑ Vinberg E. B. Základy teorie grup. - 2. - Factorial Press, 2001. - S. 409, 415. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu Geometrie definování vztahů ve skupině. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) „O teorii grup v závislosti na symbolické rovnici θ n = 1“, Filosofický časopis , 4. řada, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. Geneze konceptu abstraktních grup: Příspěvek k historii vzniku abstraktní teorie grup. — Přehled obecné psychologie. - New York : Dover Publications , 2007. - S. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - srpen ( roč. 52 , č. 7 ). - str. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. Konečné jednoduché grupy . — Absolventské texty z matematiky. - New York: Springer-Verlag , 2009. - S. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. Základy teorie kvazigrup a smyček. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 s. - 2800 výtisků.
↑ Belousov V. D. Základy teorie kvazigrup a smyček. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 s. - 2800 výtisků.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebra a teorie čísel. - Vyšší škola, 1979. - S. 346-347. — 559 str. - 40 000 výtisků.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Úvod // Úvod do teorie kategorií a funktorů = Úvod do teorie kategorií a funktorů / přel. z angličtiny. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M .: Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 str.
↑ Vinberg E. B. Základy teorie grup. - 2. vyd. - Factorial Press, 2001. - S. 14-15. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. Základy teorie grup. - 2. vyd. - Factorial Press, 2001. - S. 16. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Obecná topologie. Topologické skupiny. Čísla a související skupiny a mezery. M .: Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Počáteční kurz topologie. Geometrické hlavy. M .: Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. Základy teorie grup. - 2. vyd. - Factorial Press, 2001. - S. 501. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineární algebra a geometrie. M .: Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Lineární algebra a elementární geometrie. M .: Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgačev I. V., Širokov A. P. Afinní prostor // Matem. encyklopedie. T. 1. M .: Sov. encyklopedie, 1982. Stb. 362-363.

Literatura

Vědecká literatura

Sagalovich Yu.L. Úvod do algebraických kódů - 2. vyd. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 s. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Úkolová kniha o teorii grup. Moskva: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Základy teorie grup. Moskva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. Moskva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Teorie skupin. (3. vyd.). Moskva: Nauka, 1967.
Hala M. Teorie grup. M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1962.
Gorenstein D. Konečné grupy. NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Populární literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie grup . - T. 7. - ( "Knihovna Kvant" ).
Sadovský L., Aršinov M. Skupiny // Kvant . - 1976. - č. 10 .
Skupina // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 88 -94. — 352 s.

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online) Brockhaus Universalis Universalis
V bibliografických katalozích	GND : 4022379-6