Skupina v matematice je neprázdná množina , na které je definována asociativní binární operace , a pro tuto operaci existuje neutrální prvek (analogický k jednotě pro násobení) a každý prvek množiny má inverzní . Obor obecné algebry , který se zabývá grupami, se nazývá teorie grup [1] .
Jedním příkladem skupiny je množina celých čísel vybavených operací sčítání : součet jakýchkoli dvou celých čísel také dává celé číslo, nula hraje roli neutrálního prvku a číslo s opačným znaménkem je inverzní prvek. Dalšími příklady jsou množina reálných čísel s operací sčítání, množina rotací rovin kolem počátku . Díky abstraktní definici grupy prostřednictvím systému axiomů , který není vázán na specifika generujících množin, vytvořila teorie grup univerzální aparát pro studium široké třídy matematických objektů nejrozmanitějšího původu z hlediska obecné vlastnosti jejich struktury . Všudypřítomnost grup v matematice i mimo ni z nich dělá zásadní konstrukt v moderní matematice a jejích aplikacích.
Skupina zásadně souvisí s pojmem symetrie a je důležitým nástrojem při studiu všech jejích projevů. Například skupina symetrie odráží vlastnosti geometrického objektu: skládá se ze sady transformací , které ponechávají objekt beze změny, a operace sloučení dvou takových transformací, které následují po sobě. Skupiny symetrie, jako jsou bodové skupiny symetrie, jsou užitečné při porozumění fenoménu molekulární symetrie v chemii; skupina Poincare charakterizuje symetrii fyzického časoprostoru a ve standardním modelu fyziky elementárních částic se používají speciální unitární skupiny [2] .
Pojem grupy zavedl Evariste Galois při studiu polynomů ve 30. letech 19. století [3] .
Moderní teorie grup je aktivním odvětvím matematiky [4] . Jeden z nejpůsobivějších výsledků byl dosažen v klasifikaci jednoduchých konečných grup , která byla dokončena v roce 1981 : důkazem věty jsou desítky tisíc stran stovek vědeckých článků od více než stovky autorů publikovaných od roku 1955, ale články se nadále objevují kvůli detekovatelným mezerám v důkazu [5] . Od poloviny 80. let prošla geometrická teorie grup , která studuje finitně generované grupy jako geometrické objekty, významného rozvoje.
Neprázdná množina s definovanou binární operací : se nazývá skupina , pokud platí následující axiomy :
Poslední dva axiomy lze nahradit jedním axiomem existence inverzní operace :
.
Navíc výše uvedené axiomy nejsou striktně minimální. Pro existenci neutrálního a inverzního prvku stačí mít levý neutrální prvek a levý inverzní prvek. Zároveň lze dokázat, že se bude automaticky jednat o obyčejné neutrální a inverzní prvky [6] .
Obvykle se skupinová operace nazývá (abstraktní) násobení ; pak se použije multiplikativní zápis :
Pokud se skupinová operace nazývá multiplikace , pak se taková skupina sama nazývá multiplikativní a s úplným zápisem (když chtějí explicitně označit skupinovou operaci) jsou označeny následovně :.
Vícenásobné součiny , , jsou zapsány jako přirozené mocniny , , [7] . Pro prvek je správně definován celočíselný stupeň [ 8] , zapisuje se takto: , .
V komutativní skupině je definující operace často považována za (abstraktní) sčítání a je psána aditivně :
Pokud se skupinová operace nazývá addice , pak se taková skupina sama nazývá aditivní a s úplným zápisem je označena následovně :. [9] Tento termín se vztahuje pouze na způsob, jakým je operace zapsána ve skupině; je užitečné, když je na sadě definováno více operací. Například lze hovořit o aditivní skupině reálných čísel nebo o multiplikativní skupině kladných reálných čísel . Navíc existují případy, kdy je aditivní skupina izomorfní vůči multiplikativní (viz Kořeny z jednoty ).
Skupiny se používají v různých oblastech matematiky. Například v topologii zavedením konceptu základní grupy [10] . Kromě teoretické aplikace skupin existuje mnoho způsobů, jak skupiny aplikovat v praxi. Používají se například v kryptografii , která se opírá o výpočetní teorii grup a znalost algoritmů .
Aplikace teorie grup není omezena na matematiku, je široce používána v takových vědách, jako je fyzika , chemie a informatika .
mohou být hodinky s ciferníkem [11] .
Skupinu lze nastavit:
Moderní pojetí grupy vzniklo z několika oblastí matematiky. Původní hnací silou teorie grup bylo hledání řešení algebraických rovnic stupně většího než čtyři. Francouzský matematik 19. století Évariste Galois poté, co zdokonalil studie Ruffiniho a Lagrange , dal kritérium pro řešitelnost konkrétní algebraické rovnice v podmínkách skupiny symetrie jejích řešení. Prvky takové Galoisovy skupiny odpovídají jistým permutacím kořenů . Galoisovy myšlenky byly odmítnuty jeho současníky a posmrtně publikovány Liouvillem v roce 1846. Cauchy na základě stejné práce jako Galois podrobně studoval permutační skupiny [3] . Pojem konečné grupy poprvé představil Arthur Cayley v roce 1854 ve své práci „ O teorii grup, jak závisí na symbolické rovnici θ n 1 “ [ 28] .
Geometrie je druhou oblastí, kde byly grupy systematicky aplikovány, zejména grupy symetrie jako součást „ Erlangenského programu“ německého matematika Felixe Kleina . Po vzniku nových odvětví geometrie, jako je hyperbolická a projektivní geometrie , Klein použil teorii grup, aby je lépe sladil. Další rozvoj těchto myšlenek vede k zavedení konceptu Lieovy grupy do matematiky v roce 1884 [3] .
Třetí oblastí matematiky, která přispěla k rozvoji teorie grup, je teorie čísel . Některé abelovské skupiny byly implicitně použity v Gauss ' Aritmetical Investigations (1801). V roce 1847 provedl Ernst Kummer první pokusy dokázat Fermatovu poslední větu pomocí skupin popisujících prvočíselné faktorizace. V roce 1870 Kronecker zobecnil Kummerovu práci a dal definici blízkou moderní definici konečné abelovské grupy [3] .
Oddělení teorie grup začalo pojednáním Camille Jordana o změnách a algebraických rovnicích (1870) [29] . Ve 20. století se začala aktivně rozvíjet teorie skupin. Zrodila se průkopnická práce Frobenia a Burnsidea o reprezentaci konečných grup , teorie modulární reprezentace Richarda Braura a Schurovy zápisy . Významný pokrok ve studiu teorie Lieových grup a lokálně kompaktních grup udělali Weyl a Cartan . Algebraickým přídavkem k těmto teoriím byla teorie algebraických grup , poprvé formulovaná Claudem Chevalleyem , později zmíněná v dílech Borela a Sýkorek [3] .
V akademickém roce 1960–61 se na Chicagské univerzitě konal rok teorie grup, který svedl dohromady teoretiky jako Daniel Gorenstein, John Thompson a Walter Feith, a položil tak základy pro spolupráci velkého počtu matematiků, kteří následně odvodili klasifikační teorém pro všechny jednoduché konečné grupy v 80. -s letech. Tento projekt svou velikostí překonal všechny předchozí pokusy o klasifikaci skupin, a to jak délkou důkazů, tak počtem vědců zapojených do této práce. Současný výzkum je zaměřen na zjednodušení klasifikace skupin. V současnosti se teorie grup aktivně rozvíjí a ovlivňuje další odvětví matematiky [5] [30] [31] .
Mnoho skupin má současně nějakou jinou (dodatečnou) matematickou strukturu. V jazyce teorie kategorií se jedná o skupinové objekty v kategorii ; jinými slovy, jedná se o objekty (tedy např. množiny, které mají určitou matematickou strukturu), pro které je dána třída určitých transformací (nazývaných morfismy ) podle axiomů grupy. Konkrétně každá grupa (v dříve definovaném smyslu) je současně množinou , takže grupa je grupovým objektem v kategorii množin Set (morfismy v této kategorii jsou zobrazení množin) [35] .
Kruh je množina , na které jsou definovány binární operace komutativního sčítání a (ne nutně komutativního) násobení, navíc s ohledem na sčítání K tvoří grupu a násobení je se sčítáním spojeno distributivním zákonem.
Prstenec se nazývá komutativní a asociativní , pokud je na něm uvedená operace násobení komutativní, a tedy asociativní. Prvek prstence se nazývá jednotka, pokud je splněna následující podmínka: , kde je libovolný prvek prstence.
Číselné množiny Z , Q , R jsou komutativní asociativní kruhy s identitou. Množina vektorů s operací vektorového násobení je antikomutativní kruh (tj ) díky vlastnostem vektorového násobení [36] : .
Pole je komutativní asociativní okruh s jednotkou a s ohledem na sčítání tvoří grupu a jeho nenulové prvky jsou grupou násobením. Pole nemůže obsahovat jedinou nulu. Množiny racionálních a reálných čísel jsou pole. V libovolném poli pouze pokud a/nebo [37] .
Některé topologické prostory mohou být zároveň vybaveny skupinovou strukturou. V tomto případě se takový prostor může ukázat jako topologická skupina .
Topologická grupa je totiž grupa, která je současně topologickým prostorem , a násobení prvků grupy a operace převzetí inverzního prvku se v použité topologii ukazují jako spojitá zobrazení [38] . Topologické grupy jsou skupinové objekty v topologických prostorech Nahoru [35] .
Nejdůležitější příklady topologických grup jsou aditivní grupa reálů , multiplikativní grupa nenulových reálů , úplná lineární grupa , speciální lineární grupa , ortogonální grupa , speciální ortogonální grupa , unitární grupa , speciální unitární grupa [39 ] .
Lieova grupa (na počest Sophuse Lie ) je grupa, která je současně diferencovatelnou varietou nad polem K (pole reálných nebo komplexních čísel může fungovat jako druhé) a násobením prvků grupy a operace. z převzetí inverzního prvku se ukáží hladká zobrazení (ve složitém případě je nutná holomorfie zavedených zobrazení). Navíc jakákoliv komplexní -dimenzionální Lieova grupa je současně skutečnou Lieovou grupou dimenze [40] .
Všechny konkrétní grupy uvedené v předchozí podkapitole jako příklady topologických grup jsou zároveň Lieovy grupy.
Grupy lži vyvstávají přirozeně když zvažuje spojité symetrie ; tedy Lieovu grupu tvoří [41] izometrie tvaru , kde je euklidovský bodový prostor . Výsledná grupa, označená [42] , je podgrupou další Lieovy grupy, afinní grupa prostoru , označená [43] .
Lieovy grupy jsou nejlepší z variet, pokud jde o bohatost struktury, kterou mají, a jako takové jsou velmi důležité v diferenciální geometrii a topologii . Hrají také významnou roli v geometrii, počtu, mechanice a fyzice [40] .
Teorie skupin | |
---|---|
Základní pojmy | |
Algebraické vlastnosti | |
konečné skupiny |
|
Topologické skupiny | |
Algoritmy na skupinách |
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |