Zobecněné Riemannovy hypotézy

Riemannova hypotéza je jednou z nejdůležitějších hypotéz v matematice . Dohad je tvrzení o nulách Riemann zeta funkce . Různé geometrické a aritmetické objekty lze popsat takzvanými globálními L-funkcemi , které jsou formálně podobné Riemannově zeta funkci. Pak si můžeme položit stejnou otázku ohledně kořenů těchto L -funkcí, což dává různá zobecnění Riemannovy hypotézy. Mnoho matematiků se domnívá, že tato zobecnění Riemannovy hypotézy jsou správná . Jediný případ, kdy byla taková domněnka prokázána, byl v algebraickém oboru funkcí (ne v případě oboru čísel).

Globální L -funkce mohou být spojeny s eliptickými křivkami , číselnými poli (v tomto případě se nazývají Dedekind zeta funkce ), Maassovými parabolickými formami a Dirichletovými znaky (v tomto případě se nazývají Dirichletovy L-funkce ). Když je Riemannova hypotéza formulována pro Dedekindovy zeta funkce , nazývá se rozšířená Riemannova hypotéza (RHR), a když je formulována pro Dirichletovy L -funkce, je známá jako zobecněná Riemannova hypotéza (GRH). Tato dvě prohlášení jsou podrobněji diskutována níže. Mnoho matematiků používá název zobecněná Riemannova hypotéza k rozšíření Riemannovy hypotézy na všechny globální L - funkce, nejen na speciální případ Dirichletových L -funkcí.

Generalizovaná Riemannova hypotéza (GRE)

Zobecněnou Riemannovu hypotézu (pro Dirichletovy L -funkce) zřejmě poprvé formuloval Adolf Piltz v roce 1884 [1] . Stejně jako původní Riemannova hypotéza má i zobecněná hypotéza dalekosáhlé důsledky pro distribuci prvočísel .

Formální vyjádření hypotézy . Dirichletův znak je plně multiplikativní aritmetická funkce χ taková, že existuje kladné celé číslo k s χ( n + k ) = χ ( n ) pro všechna n a χ ( n ) = 0, pokud gcd ( n , k ) > 1. Vzhledem k takovému charakteru definujeme odpovídající Dirichletovu L-funkci

{\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

pro všechna komplexní čísla s reálnou částí > 1. Pomocí analytického pokračování lze tuto funkci rozšířit na meromorfní funkci definovanou na celé komplexní rovině. Zobecněná Riemannova hypotéza říká, že pro jakýkoli Dirichletův znak χ a jakékoli komplexní číslo s s L(χ, s ) = 0, je-li reálné číslo s mezi 0 a 1, pak je ve skutečnosti rovno 1/2.

Případ χ( n ) = 1 pro všechna n dává obvyklou Riemannovu hypotézu.

Důsledky OGR

Dirichletova věta říká, že když a a d jsou přirozená čísla , pak aritmetická posloupnost a , a + d , a +2 d , a +3 d , … obsahuje nekonečně mnoho prvočísel. Nechť π( x , a , d ) označuje počet prvočísel v průběhu, která jsou menší nebo rovna x . Je-li zobecněná Riemannova hypotéza pravdivá, pak pro libovolné koprimum aad a libovolné ε > 0

\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\ ,dt+O(x^{1/2+\epsilon })

v ,

x\to \infty

kde φ( d ) je Eulerova funkce a je velké „O“ . Toto je významné posílení teorému o distribuci prvočísel . $Ó$

Pokud je OGR pravdivý, pak žádná správná podgrupa multiplikativní grupy neobsahuje číslo menší než 2(ln n ) 2 , stejně jako čísla relativně prvočíslá k n a menší než 3(ln n ) 2 [2] . Jinými slovy, generované množinou čísel menší než 2( lnn ) 2 . Tato skutečnost se často používá v důkazech a vyplývá z ní mnoho důsledků, například (za předpokladu, že GRE je pravdivá): ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))$

Miller-Rabinův test je zaručen, že bude probíhat v polynomiálním čase (Test v polynomiálním čase, který nevyžaduje ORT, test Agrawal-Kayal-Saxena , byl publikován v roce 2002).
Je zaručeno, že algoritmus Gelfond-Shanks poběží v polynomiálním čase.
Deterministický Ivanuos-Karpinski-Sahenův algoritmus [3] pro expanzi polynomů přes konečná tělesa s prvočíselným stupněm n a hladkým n - 1 běží v polynomiálním čase.

Pokud je GRE pravdivé, pak pro každé prvočíslo p existuje primitivní kořen modulo p (generátor multiplikativní skupiny celých čísel modulo p ) menší než [4] . $O((\ln p)^{6}).\,$

Slabá Goldbachova domněnka vyplývá také ze zobecněné Riemannovy hypotézy. Důkaz této domněnky Haralda Helfgotta potvrzuje GDE pro několik tisíc malých znaků, což umožnilo dokázat domněnku pro všechna celá (lichá) čísla větší než 10 29 . Pro celá čísla pod touto hranicí byla hypotéza testována hrubou silou [5] .

Za předpokladu, že GDE je správné, lze odhad součtu znaků v Polya–Vinogradovově nerovnosti zlepšit na , kde q je absolutní hodnota znaku. $O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)$

Rozšířená Riemannova hypotéza (RHR)

Nechť K je číselné pole (konečně- dimenzionální rozšíření oboru racionálních čísel Q ) s kruhem celých čísel O K (tento kruh je celočíselným uzávěrem celých čísel Z v K ). Jestliže a je ideál kruhu O K jiný než nulový ideál, označíme jeho normu [ Na . Dedekindova zeta funkce přes K je pak definována jako

{\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s))))

pro všechna komplexní čísla s s reálnou částí > 1.

Dedekindova zeta funkce splňuje funkcionální rovnici a může být rozšířena analytickým pokračováním na celou komplexní rovinu . Výsledná funkce zakóduje důležité informace o číselném poli K . Rozšířená Riemannova hypotéza říká, že pro libovolné číselné pole K a každé komplexní číslo s, pro které platí ζ K ( s ) = 0, pokud reálná část čísla s leží mezi 0 a 1, je ve skutečnosti rovna 1 / 2.

Původní Riemannova domněnka vyplývá z rozšířené domněnky, pokud vezmeme číselné pole Q s kruhem celých čísel Z .

Efektivní verze [6] Čebotarevovy věty o hustotě vyplývá z RGR : jestliže L / K je konečné Galoisovo rozšíření s Galoisovou grupou G a C je sjednocení kosset G , počet nerozvětvených prvočísel ideály K s normou pod x c Frobeniova koseta v C je

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\log x+\ log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

kde konstanta ve velkém O je absolutní, n je mocnina L nad Q a Δ je jeho diskriminant.

Viz také

Artinova hypotéza
Dirichlet L-funkce
třída Selberg
Velká Riemannova hypotéza

Poznámky

↑ Davenport, 2000 , str. 124.
↑ Bach, 1990 , str. 355–380.
↑ Ivanyos, Karpinski, Saxena, 2009 , str. 191–198.
↑ Shoup, 1992 , str. 369–380.
↑ Helfgott, 2013 .
↑ Lagarias, Odlyzko, 1977 , s. 409–464.

Literatura

Lagarias JC, Odlyzko AM Efektivní verze Chebotarevovy věty // Algebraická číselná pole. - 1977. - S. 409-464 .
Eric Bach. Explicitní hranice pro testování primality a související problémy // Matematika počítání . - 1990. - T. 55 , no. 191 . — S. 355–380 . - doi : 10.2307/2008811 . — .
Gabor Ivanyos, Marek Karpinski, Nitin Saxena. Schémata pro deterministický polynomiální faktoring // Proc. ISAAC. - 2009. - S. 191-198 . — ISBN 9781605586090 . - doi : 10.1145/1576702.1576730 .
Helfgott HA Hlavní oblouky pro Goldbachovu větu . - 2013. - arXiv : 1305.2897v3 .
Obchod Victor. Hledání primitivních kořenů v konečných polích // Matematika počítání. - 1992. - Sv. 58. - Vydání. 197 . — S. 369–380 . - doi : 10.2307/2153041 . — .
Harold Davenport. multiplikativní teorie čísel. - Třetí vydání, přepracované as předmluvou Hugha L. Montgomeryho . - New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 74. - P. xiv + 177. — (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 0-387-95097-4 .

Čtení pro další čtení

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Riemannova hypotéza, zobecněná , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

L -funkce v teorii čísel
Analytické příklady	Riemann zeta funkce L -Dirichletovy funkce L -funkce znaků Hecke Automorphic L -functions třída Selberg
Algebraické příklady	Dedekind zeta funkce Artin L -funkce Hasse-Weyl L -funkce Motive L -functions
Věty	Analytický vzorec pro počet tříd Riemann-von Mangoldtův vzorec Weilovy hypotézy
Analytické hypotézy	Riemannova hypotéza Zobecněné Riemannovy hypotézy Lindelöfova hypotéza Ramanujanova hypotéza Artinova hypotéza
Algebraické dohady	Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza Deligneho domněnka Beilinsonovy hypotézy Bloch-Kato domněnka Langlandsova hypotéza
p - adic L -functions	Hlavní hypotéza teorie Iwasawa Selmer Group Eulerův systém