Fermat-Catalana hypotéza

Fermat-Katalánská hypotéza je číselně teoretická hypotéza, která zobecňuje Fermatův poslední teorém a katalánskou hypotézu . Tvrdí, že rovnice

a^{m}+b^{n}=c^{k}

má nanejvýš konečný počet řešení s různými trojicemi hodnot , kde jsou přirozená prvočísla a přirozená čísla vyhovující vztahu $a,b,c,m,n,k$ $a^{m},b^{n},c^{k}$ $a,b,c$ $m, n, k$

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

Od roku 2014 je známo pouze 10 řešení této rovnice: [1]

1^{m}+2^{3}=3^{2}

2^{5}+7^{2}=3^{4}

13^{2}+7^{3}=2^{9}

2^{7}+17^{3}=71^{2}

3^{5}+11^{4}=122^{2}

33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}

1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}

9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}

17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}

43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}

Řešení je jediné řešení, ve kterém je jedno z rovno 1. Toto je katalánský dohad , dokázaný v roce 2006 Mihailescu . $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ $a,b,c$

Všechna řešení byla nalezena pro trojnásobek stejných exponentů . $m, n, k$ $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3 ,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4) ,n)$

Podle Faltingsovy věty pro všechna pevná přirozená čísla splňující nerovnost existuje nanejvýš konečný počet trojic splňujících rovnici , ale Fermat-Katalánská hypotéza je přísnější, protože uvádí, že počet řešení pro nekonečnou množinu trojic je konečný . $m, n, k$ ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$ $a,b,c$ $a^{m}+b^{n}=c^{k}$ $m, n, k$

abc-hypotéza implikuje Fermat-Katalánskou hypotézu [1] .

Bealova domněnka je, že všechna řešení Fermat-Katalánské rovnice mají jeden z exponentů rovný 2.

Poznámky

↑ 1 2 Pomerance, Carl (2008), Computational Number Theory, in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, s. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Literatura

Ian Stewart . „Největší matematické problémy“. - M . : " Alpina literatura faktu ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .