Abc hypotéza

Hypotéza abc (Esterle-Musserova hypotéza) je tvrzení v teorii čísel formulované nezávisle matematiky Davidem Masserem v roce 1985 [1] a Josephem Esterlem v roce 1988 [2] .

Důkaz abc -dohadu byl dlouho jedním z hlavních nevyřešených problémů v teorii čísel a zůstává jím dodnes. Stav tohoto problému je v současné době sporný. Mochizukiho důkaz získaný v roce 2012 zatím nebylo možné potvrdit ani vyvrátit.

Formulace

Pro libovolná existuje konstanta , při které pro všechna tři prvočíselná celá čísla , a taková , že nerovnost $\varepsilon >0$ $K(\varepsilon )$ $A$ $b$ $C$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\jméno operátora {rad} (abc){\ velký )}^{1+\varepsilon },

kde je radikál čísla , tedy číslo rovné součinu prvočíselných dělitelů součinu . $\operatorname {rad} (abc)$ $abc$ $abc$

Poznámky

Bez ztráty obecnosti můžeme uvažovat pouze vzestupná přirozená čísla , a . Pak se nerovnost sníží na následující: $A$ $b$ $C$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\jméno operátora {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
Podmínka je nutná. Pro libovolnou existuje trojice prvočíselných čísel taková, že . Například trojice tvaru , kde . $\varepsilon >0$ $K$ $a,b,c=a+b$ $c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Důsledky

Bealova domněnka a Fermatova poslední věta

Platnost abc -hypotézy implikuje platnost Bealovy hypotézy pro dostatečně velké , a z ní platnost poslední Fermatovy věty pro dostatečně velké stupně [3] . $z$

Důkaz Bealovy domněnky na základě abc -hypotézy

Podle Bealovy domněnky, jestliže ( , , , , , jsou přirozená čísla a ), pak , , mají společného dělitele. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $X$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Dokažme Bealeovu domněnku pro dostatečně velké z opaku . Předpokládejme, že existuje nekonečný počet , pro které je Bealova domněnka nepravdivá. Aplikujeme hypotézu abc , podle které: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Pojďme se to naučit . Proto: $\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad}(ABC)\right)^{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Protože z podmínek věty je zřejmé, že a , pak . Pak: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{3+3\varepsilon }}

Logaritmováním obou částí nerovnosti a dělením dostaneme horní mez hodnoty : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

navíc vztah musí být konečný, protože podle podmínky , , , jsou přirozené (tj . ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$

Je tedy možné najít nějakou konečnou hodnotu , pro kterou není splněna nerovnost (*), to znamená, že zde neplatí abc -hypotéza, což znamená, že předpoklad o neplatnosti Bealovy hypotézy pro dostatečně velké je chybný . . Pro zbývající konečné množství lze Bealův odhad dokázat numericky. $z$ $z$ $z$

Hypotézy Pillai a Catalan

Z platnosti abc -hypotézy vyplývá platnost Pillaiovy hypotézy a z ní platnost katalánské hypotézy .

Mochizukiho důkaz

V srpnu 2012 uznávaný japonský matematik Shinichi Mochizuki oznámil, že se mu podařilo prokázat abc -dohad [4] [5] . Důkaz, který navrhoval, se ukázal jako extrémně obtížný i z pohledu odborných matematiků [6] .

Po zveřejnění důkazu online Mochizuki odmítl všechny nabídky sdělit komunitě své výsledky osobně, ale několik matematiků si vzalo za úkol ověřit důkaz s pomocí Mochizukiho. Zveřejňují zprávy o pokroku této práce [7] . Počínaje koncem roku 2015 začal Mochizuki postupně komunikovat s komunitou o svých výsledcích [8] . Na konci roku 2017 je na světě 10 až 20 odborníků na teorii vytvořenou Mochizuki [9] .

Důkaz Shinichi Mochizuki je tedy veřejně dostupný, není vyvrácen, ale zatím není ve vědecké komunitě považován za ověřený. Je neobvyklé, že důkaz zůstává v tomto neurčitém stavu po dlouhou dobu [9] [10] (na rozdíl od případů, kdy důkazy, které byly považovány za ověřené a správné, měly chyby).

V roce 2018 Peter Scholze a Jakob Stix, specialisté v oblastech souvisejících s hypotézou abc a Mochizukiho prací, oznámili, že v klíčovém bodě prokazování hypotézy abc v Mochizukiho teorii (což dlouho působilo zvláštní potíže pro matematiky, kteří se snažili teorii porozumět) došlo k fatální chybě [11] [6] . Mochizuki odpověděl, že Stix a Scholze nesprávně interpretovali některé klíčové aspekty jeho důkazu, a proto provedli nepřijatelná zjednodušení [12] .

Od roku 2020 je Mochizukiho důkaz stále v nejistém stavu, matematická komunita není přesvědčena o jeho správnosti, navzdory přijetí důkazu k publikaci v časopise Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences") Výzkumný ústav pro matematické vědy na Kyoto University (Japonsko) je institut, kde pracuje Mochizuki [13] [14] .

V březnu 2021 byl Mochizukiho důkaz zveřejněn v PRIMS [15] .

Viz také

Poznámky

↑ DW Masser. Otevřené problémy (anglicky) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - Londýn: Imperial College, 1985. - Sv. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (francouzsky) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - Sv. 694 . — S. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. Zobecnění poslední Fermatovy věty: Bealova domněnka a problém ceny // Notices of the AMS. - 1985. - Sv. 44 , č. 11 . - S. 1436-1437 .
↑ Japonský matematik oznámil důkaz hypotézy ABC , Lenta.ru (11. září 2012). Archivováno z originálu 14. září 2012. Staženo 11. září 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (srpen 2012). Meziuniverzální Teichmullerova teorie I: Konstrukce Hodgeových divadel , Meziuniverzální Teichmullerova teorie II: Hodgeovo-Arakelovovo teoretické hodnocení , Meziuniverzální Teichmullerova teorie III: Kanonické rozdělení mřížky Log-theta. , Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations , dostupné na http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Archivováno 2. února 2021 na Wayback Machine
↑ 12 David Michael Roberts . A Crisis of Identification // Inference. - 2019. - Sv. 4, č. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Archived 13. září 2014 na Wayback Machine , IUTeich Verification Report 2014-12 Archived 22. ledna 2015 na Wayback Machine
↑ „Japonec Perelman“ souhlasil s vysvětlením hlavního tajemství matematiky. Archivní kopie ze dne 27. listopadu 2015 na Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . Matoucí ABC matematický důkaz má nyní neproniknutelný 300stránkový „souhrn“ . New Scientist (7. září 2017). Získáno 8. prosince 2017. Archivováno z originálu dne 23. prosince 2017. (neurčitý)
↑ Caroline Chen. Paradox důkazu (4. května 2013). Získáno 6. září 2016. Archivováno z originálu 16. září 2013. (neurčitý) Překlad: Daniil Basmanov. Paradox důkazu (17. června 2013). Datum přístupu: 6. září 2016. Archivováno z originálu 14. září 2016. (neurčitý)
↑ Klarreich, Erica . Titans of Mathematics Clash over Epic Proof of ABC Conjecture , Quanta (20. září 2018). Archivováno z originálu 14. března 2021. Staženo 21. září 2018 _ _
↑ Mochizuki, Shinichi Zpráva o diskusích, konané během období 15.–20. března 2018, týkající se meziuniverzální Teichmüllerovy teorie . Staženo 18. ledna 2019. Archivováno z originálu 9. listopadu 2018. (neurčitý)
Mochizuki, Shinichi Komentáře k rukopisu Scholze-Stixe týkajícího se meziuniverzální Teichmüllerovy teorie . Staženo 18. ledna 2019. Archivováno z originálu 21. září 2018. (neurčitý)
Mochizuki, Shinichi Komentáře k rukopisu (verze 2018-08) od Scholze-Stix týkající se teorie Inter-Universal Teichmüller . Získáno 18. ledna 2019. Archivováno z originálu 24. října 2018. (neurčitý)
↑ Časopis Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences navzdory všemu zveřejní práci matematika Shinichiho Mochizukiho s důkazem archivní kopie Esterle-Musserovy domněnky ze dne 11. června 2020 na Wayback Machine // Lenta.Ru , 3. dubna 2020
↑ Příroda (UK): Matematický důkaz teorie otřesů čísel se připravuje . Staženo 12. dubna 2020. Archivováno z originálu dne 12. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Mochizuki, Shinichi Mochizukiho důkaz domněnky ABC . Získáno 14. července 2021. Archivováno z originálu dne 3. května 2021. (neurčitý)

Odkazy

Weisstein, Eric W. abc Conjecture (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Přednášky o hypotéze ABC: Přednáška 1 , Přednáška 2 , Přednáška 3 , Přednáška 4 (Keith Conrad).
R. Borcherds , Přednáška z matematiky: The abc conjecture on YouTube

Literatura

Ian Stewart . „Největší matematické problémy“. - M . : " Alpina literatura faktu ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .