Bealova hypotéza

Bealova domněnka je hypotéza v teorii čísel , zobecnění velké Fermatovy věty : jestliže , kde a , pak mají společného prvočíselného dělitele. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N}$ $x,y,z>2$ $A, B, C$

V roce 1993 ji navrhl texaský miliardář a amatérský matematik Andrew Beal , který za její prokázání nebo vyvrácení zavedl cenu 100 000 dolarů a v roce 2013 tuto cenu zvýšil na 1 milion dolarů [1] .

Hypotéza abc (jejíž status je diskutabilní) implikuje platnost Bealovy domněnky pro dostatečně velké [2] , a z ní důkaz Fermatovy poslední věty , protože Bealova domněnka je zobecněním poslední Fermatovy věty (dokázáno v roce 1995 Andrewem Wilesem ) . $z$

Od roku 2013 byla hypotéza testována pro případy, kdy hodnoty všech šesti čísel nepřesahují 1000 [3] . Dne 24. března 2014 byl spuštěn projekt dobrovolných počítačů Beal@Home na platformě BOINC s cílem hledat protipříklad vyčerpávajícím hledáním .

Spojení s poslední Fermatovou větou

Za podmínky, že je hypotéza pravdivá, lze Fermatovu větu dokázat kontradikcí :

Nechť existují přirozená čísla a , , taková, že . Pak Bealův dohad pro implikuje existenci prvočísla rozdělujícího každé z čísel , a . Ale pak , a tedy z libovolné trojice čísel vyhovujících rovnosti , můžete získat další trojici čísel, která tuto rovnost splňuje, přičemž poslední číslo bude menší než v původní trojici. Jinými slovy, v množině přirozených čísel, jejichž -tý stupeň je součtem -tých mocnin dvou dalších přirozených čísel, není nejmenší prvek , což je nemožné. Výsledný rozpor znamená, že požadovaná přirozená čísla , , , neexistují, to znamená, že Fermatova poslední věta je dokázána.