Stupňovaná algebra

Stupňovaná algebra je algebra rozložená na přímý součet jejích podprostorů tak, aby byla splněna podmínka . [1] [2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r))$ ${\displaystyle A_{r))$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\podmnožina A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definice

Nechť A je algebra nad kruhem k , G pologrupa .

Algebra A se nazývá G - graded (synonymum: G - grading je uveden na A ), pokud se A rozloží na přímý součet k -modulů přes všechny prvky g z G a násobení v algebře je v souladu s násobením v pologrupě: $A_{g}$

{\displaystyle A_{f}A_{g}\subset A_{fg))

Jestliže nenulový prvek a patří do , pak se nazývá homogenní stupně g . $A_{g}$

Když je G vzato jako aditivní grupa celých čísel nebo pologrupa nezáporných celých čísel, říká se, že algebra A je jednoduše odstupňovaná.

Pokud vezmeme prsten jako A ve výše uvedené definici , pak dostaneme definici odstupňovaného prstence .

Konstrukce s promocemi

Jestliže A je G -gradovaná algebra a a je semigrupový homomorfismus , pak A je vybaveno H- gradingem podle pravidla: $\psi :G\to H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

Na libovolnou algebru A lze zavést triviální známkování jakoukoliv pologrupou G s identitou e , za předpokladu , že proto nemá smysl uvažovat o tak "špatných" známkách. $A_{e}=A$

Přes pole je jakákoli algebra A gradovatelná pomocí skupiny G znaků maximálního torusu její skupiny algebraického automorfismu: $\mathbb {C}$ $G=(T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\ střední \phi (a)=g(\phi )a$ pro každého $\phi \in T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Toto stupňování ve výše uvedeném smyslu je „nejbohatší“ ze všech abelovských stupňů algebry A , protože na jakékoli G -gradované algebře A skupina znaků G působí automorfismy podle stejného vzorce.

Příklady

Okruh polynomů v jedné nebo více proměnných.
Prsten kohomologie .
Algebra matic řádu n je odstupňována grupou $\mathbb {Z} _{n-1}.$
Algebra pologrupy je G -gradovaná algebra. $K\left[G\right]$

Tříděný modul

Odpovídající koncept v teorii modulů je odstupňovaný modul , jmenovitě levý modul M nad odstupňovaným prstencem A tak, že

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i))

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

Morfismus gradovaného modulu je morfismus modulu, který zachovává grading, tedy . $f:N\to M$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i))$

Pro modul s klasifikací M lze definovat ℓ -twist jako modul s hodnocením definovaný pravidlem . (Viz kroucení Serreho svazku v algebraické geometrii.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Nechť M a N jsou odstupňované moduly. Jestliže je morfismus modulů, pak f má stupeň d if . Vnější derivace diferenciální formy v diferenciální geometrii je příkladem morfismu stupně 1. $f:M\to N$ ${\displaystyle f(M_{n})\podmnožina N_{n+d))$

Literatura

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory. - Amsterdam: North-Holland, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Poznámky

↑ Tato stupňovaná algebra se také nazývá -graded. ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Yu V. Prochorov; Ed. kol.: S. I. Adjan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudrjavcev, A. L. Onishchik, A. P. Juškevič. - M .: Sov. encyklopedie, 1988. - S. 161 . — 847 s. — 150 000 výtisků.