Stupňovaná algebra je algebra rozložená na přímý součet jejích podprostorů tak, aby byla splněna podmínka . [1] [2]
Nechť A je algebra nad kruhem k , G pologrupa .
Algebra A se nazývá G - graded (synonymum: G - grading je uveden na A ), pokud se A rozloží na přímý součet k -modulů přes všechny prvky g z G a násobení v algebře je v souladu s násobením v pologrupě:
Jestliže nenulový prvek a patří do , pak se nazývá homogenní stupně g .
Když je G vzato jako aditivní grupa celých čísel nebo pologrupa nezáporných celých čísel, říká se, že algebra A je jednoduše odstupňovaná.
Pokud vezmeme prsten jako A ve výše uvedené definici , pak dostaneme definici odstupňovaného prstence .
Odpovídající koncept v teorii modulů je odstupňovaný modul , jmenovitě levý modul M nad odstupňovaným prstencem A tak, že
aMorfismus gradovaného modulu je morfismus modulu, který zachovává grading, tedy .
Pro modul s klasifikací M lze definovat ℓ -twist jako modul s hodnocením definovaný pravidlem . (Viz kroucení Serreho svazku v algebraické geometrii.)
Nechť M a N jsou odstupňované moduly. Jestliže je morfismus modulů, pak f má stupeň d if . Vnější derivace diferenciální formy v diferenciální geometrii je příkladem morfismu stupně 1.