Grassmannův

Grassmannova varieta nebo Grassmannian prostoru lineární dimenze je varieta sestávající z jejích -dimenzionálních podprostorů. Označeno nebo nebo . Zejména se jedná o rozmanitost čar v prostoru , které se shodují s projektivním prostorem . Pojmenován po Hermannu Grassmannovi . $PROTI$ $n$ $p$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $\mathbf {Gr} (p,n)$ $\mathbf {Gr} (p,V)$ $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1))$

Existuje přirozená projektivní parametrizace na Grassmannovu (souřadnice jsou definovány až po násobení konstantou). Odpovídající souřadnice se nazývají Plückerovy souřadnice . Definují investici . Algebraické vztahy na Plückerových souřadnicích, které definují obraz vložení do projektivního prostoru, se nazývají Plückerovy vztahy . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1))$

Důkaz

Grassmannian může být obdařen následujícím atlasem . $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Dovolit být -rozměrný podprostor . Zaveďme skalární součin ve vektorovém prostoru a označme jej ortogonálním doplňkem . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p$ $PROTI$ $PROTI$ ${\displaystyle \Pi ^{\perp ))$ $\Pí$

Od , pak jakýkoli - dimenzionální podprostor dostatečně blízko k může být identifikován s lineárním mapováním , pokud je každý vektor reprezentován jako suma , kde a , a dát . $\Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V$ $p$ $\Pi '$ $\Pí$ ${\displaystyle A:\Pi \to \Pi ^{\perp ))$ $a\in \Pi '$ $a=x+y$ $x\in \Pi$ $y\in \Pi ^{\perp }$ $A(x)=y$

Potom se okolí bodu zobrazí jedna ku jedné na nějakou otevřenou podmnožinu prostoru lineárních zobrazení . Sestrojený atlas z něj dělá analytickou varietu dimenzí , kde . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$

Abychom ukázali, co je projektivní algebraická varieta, musíme použít Plückerovy vztahy , což jsou homogenní algebraické rovnice druhého stupně. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Vlastnosti

Grassmannian je projektivní algebraická varieta dimenze , kde . Pokud je tedy komplexní prostor, pak Grassmannian je komplexní algebraická varieta. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$ $V=\mathbb {C} ^{n}$
Grassmannův kužel řádu je souborem rozložitelných prvků vnějšího stupně , tedy -forem, reprezentovatelných jako součin 1-forem. Projektivizace Grassmannova kužele řádu se shoduje s . $p$ $\wedge ^{p}V$ $p$ $p$ $p$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Díky přirozenému izomorfismu -forem a -forem se Grassmannovy variety řádu a shodují. $p$ $(np)$ $p$ $np$

Skutečný Grassmannian může být reprezentován jako homogenní prostor ortogonální grupy .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(nk)\right)

Podobně komplexní Grassmannian odpovídá unitární grupě .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(nk)\right)

. Tyto vztahy znamenají, že lineární podprostor euklidovského prostoru může být specifikován výběrem ortonormálního základu v okolním prostoru , jehož první vektory tvoří základ v . Taková parametrizace není ojedinělá, jsou možné různé volby báze jak sama o sobě, tak i v jejím ortogonálním doplňku. Odstranění této svévole odpovídá převzetí skupiny faktorů .

W

\dim W

W

W

Buněčné dělení

Grassmannian je buněčný prostor . Odpovídající buněčné dělení se nazývá Schubertova buňka . Je postaven následovně. Základ volíme v ambientním prostoru . K danému k - rozměrnému podprostoru přiřadíme množinu čísel ( Schubertův symbol ) podle pravidla $\{e_{1},\tečky ,e_{n}\}$ $PROTI$ ${\displaystyle s_{1,\tečky ,k))$

s_{i}=\min\{p\in \{1,\tečky ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\tečky ,e_{p }\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\tečky ,k

Zde je podprostor překlenutý prvními vektory báze. Množina všech podprostorů s danými hodnotami je homeomorfní buňce, jejíž rozměr je . Pro komplexní Grassmannian jsou všechny buňky komplexními prostory, takže existují netriviální buňky pouze v sudých rozměrech. V důsledku toho má homologie komplexního Grassmannianu tvar $\left\langle e_{1},\tečky ,e_{p}\right\rangle$ $p$ ${\displaystyle s_{1,\tečky ,k))$ $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\tečky +(s_{n}-n)$

H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l) },\;m=2l\end{cases}}

Zde je počet odlišných Schubertových symbolů v (komplexní) dimenzi . $d(k,n)$ $l$

Zobecnění

Varianta všech ortonormálních k - snímků v se nazývá Stiefelova varieta . Má přirozenou strukturu lokálně triviálního svazku, jehož vláknem je ortogonální skupina : $\mathbb {R} ^{n}$ $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$

O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})

Zejména, , .

V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},

V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 . .

Zelikin M. I. Homogenní prostory a Riccatiho rovnice ve variačním počtu, - Factorial, Moskva, 1998.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.