Skupina komplexních odrazů

Skupina komplexních odrazů je konečná skupina působící určitým způsobem na konečný prostorový komplexní vektorový prostor .

Příklady

Symetrická skupina
dihedrální skupina
Coxeter skupiny a zvláště
- Weylovy skupiny
- Grupy symetrie pravidelných mnohostěnů .

Definice

Komplexní odraz konečněrozměrného komplexního vektorového prostoru V je prvkem konečného řádu, který fixuje body v nadrovině.

Skupina komplexních odrazů je konečná podskupina generovaná komplexními odrazy.

Související definice

O komplexní reflexní grupě W se říká, že je neredukovatelná , pokud prostor neobsahuje vlastní W - invariantní podprostory.
- V tomto případě se dimenze vektorového prostoru nazývá hodnost W .

Klasifikace

Jakákoli skupina komplexních odrazů může být reprezentována jako produkt neredukovatelných skupin komplexních odrazů působících na přímý součet odpovídajících prostorů. Proto stačí klasifikovat neredukovatelné komplexní reflexní skupiny.

Neredukovatelné skupiny komplexních odrazů zahrnují nekonečnou rodinu , závisející na třech kladných celočíselných parametrech s , a 34 výjimečných skupin. $G(m,p,n)$ $m\,\vdots \,p$

Skupina má řád , je polopřímým součinem symetrické grupy působící permutacemi na grupu -ok $G(m,p,n)$ $m^{n}\cdot n!/p$ $S_{n}$ $n$

(\theta ^{a_{1}},\tečky ,\theta ^{a_{n}}),

takový, který je primitivním druhým kořenem jednoty a $\theta$ $m$

a_{1}+\tečky +a_{n}\equiv 0{\pmod {p)).

Skupinu lze také popsat jako podskupinu indexu zobecněné symetrické grupy . $G(m,p,n)$ $p$ $S(m,n)$

Speciální případy : $G(m,p,n)$

$G(1,1,n)$ je Coxeterova grupa A n −1
$G(2,1,n)$ je Coxeterova skupina B n = C n
$G(2,2,n)$ je Coxeterova skupina Dn
$G(m,p,1)$ cyklická skupina řádu m/p .
$G(m,m,2)$ je Coxeterova skupina I2 ( m ) (a Weylová skupina G2 pro m = 6) .
Skupina působí neredukovatelně na , kromě případů , (symetrická grupa) a (Kleinovova 4 grupa), kdy se rozkládá na součet neredukovatelných reprezentací dimenze a . $G(m,p,n)$ $\mathbb{C}^n$ $m=1$ $n>1$ $G(2,2,2)$ $\mathbb{C}^n$ $jeden$ $n-1$
Dvě skupiny jsou izomorfní jako komplexní reflexní skupiny pouze v případě, že jedna z nich je , a druhá je pro některá kladná celá čísla a . Existují však i jiné případy, kdy jsou dvě takové skupiny izomorfní jako abstraktní skupiny. $G(m,p,n)$ $G(m\cdot a,p\cdot a,n)$ $G(m\cdot b,p\cdot b,n)$ $A$ $b$

Tabulka

V prvních 3 řádcích tohoto seznamu je několik opakování, viz předchozí část.

PC číslo Sheparda - Todda ze skupiny.
Hodnost je dimenzí komplexní skupiny vektorového prostoru, na kterou působí.
Struktura popisuje strukturu skupiny. Symbol "*" označuje ústřední produkt dvou skupin. T, O a I označují rotační skupiny čtyřstěnu, osmistěnu a dvacetistěnu, přičemž řády těchto skupin jsou 12, 24 a 60.
Pořadí – počet prvků ve skupině.
Odrazy - počet odrazů: 2 6 4 12 znamená, že existuje 6 odrazů 2. řádu a 12 4. řádu.
Stupně — stupně invariantů okruhu polynomiálních invariantů. Například invarianty skupiny #4 tvoří kruh polynomů se 2 generátory stupňů 4 a 6.

PCS	Hodnost	Struktura	Objednat	Úvahy	stupně	Kospeni
jeden	n -1	Symetrická grupa G (1,1, n ) = Sym( n )	n !	2n ( n − 1)/ 2	2, 3, ..., n	0,1,..., n − 2
2	n	G ( m , p , n ) m > 1, n > 1, p \| m ( G (2,2,2) je redukovatelné)	m n n !/ str	2 mn ( n −1)/2 , d n φ( d ) ( d \| m / p , d > 1)	m ,2 m ,..,( n − 1) m ; mn / p	0, m ,..., ( n − 1) m jestliže p < m ; 0, m ,...,( n − 2) m , ( n − 1) m − n , pokud p = m
3	jeden	Cyklická skupina G ( m ,1,1) = Zm	m	d φ( d ) ( d \| m , d > 1)	m	0
čtyři	2	Z2 . _ T = 3[3]3,	24	38 _	4.6	0,2
5	2	Z6 . _ T = 3[4]3,	72	3 16	6.12	0,6
6	2	Z4 . _ T = 3[6]2,	48	2 6 3 8	4.12	0,8
7	2	Z12 . _ T =〈3,3,3〉2 , 〈3,3,2〉6	144	2 6 3 16	12.12	0,12
osm	2	Z4 . _ O = 4[3]4,	96	2 6 4 12	8.12	0,4
9	2	Z8 . _ O = 4[6]2,	192	2 18 4 12	8.24	0,16
deset	2	Z12 . _ O = 4[4]3,	288	2 6 3 16 4 12	12.24	0,12
jedenáct	2	Z 24 . O = 〈4,3,2〉12	576	2 18 3 16 4 12	24.24	0,24
12	2	Z2 . _ O = GL 2 ( F 3 )	48	2 12	6.8	0,10
13	2	Z4 . _ O = 〈4,3,2〉2	96	2 18	8.12	0,16
čtrnáct	2	Z6 . _ O = 3[8]2,	144	2 12 3 16	6.24	0,18
patnáct	2	Z12 . _ O = 〈4,3,2〉6	288	2 18 3 16	12.24	0,24
16	2	Z10 . _ I = 5[3]5,	600	5 48	20:30	0,10
17	2	Z20 . _ I = 5[6]2,	1200	2 30 5 48	20,60	0,40
osmnáct	2	Z 30 . I = 5[4]3,	1800	3 40 5 48	30,60	0,30
19	2	Z 60 . I = 〈5,3,2〉30	3600	2 30 3 40 5 48	60,60	0,60
dvacet	2	Z6 . _ I = 3[5]3,	360	3 40	12:30	0,18
21	2	Z12 . _ I = 3[10]2,	720	2 30 3 40	12,60	0,48
22	2	Z4 . _ I = 〈5,3,2〉2	240	2 30	12.20	0,28
23	3	W(H3 ) = Z2 × PSL2 ( 5 ), skupina Coxeter [5,3],	120	2 15	2,6,10	0.4.8
24	3	W(J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7), Klein [1 1 1 4 ] 4 ,	336	2 21	4,6,14	0.8.10
25	3	W(L 3 ) = W(P 3 ) = 3 1+2 .SL 2 (3), Hesensko skupina 3[3]3[3]3,	648	3 24	6,9,12	0.3.6
26	3	W(M3 ) = Z2x31 + 2.SL2 ( 3 ) , Hesenská skupina , 2[4]3[3]3,	1296	2 9 3 24	6,12,18	0.6.12
27	3	W(J 3 (5)) = Z 2 ×( Z 3 .Alt(6)), Vlentierova skupina [1 1 1 5 ] 4 ,	2160	2 45	6,12,30	0.18.24
28	čtyři	W(F 4 ) = (SL 2 (3)* SL 2 (3)).( Z 2 × Z 2 ) skupina Weil [3,4,3],	1152	2 12+12	2,6,8,12	0,4,6,10
29	čtyři	W(N 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sym(5) [1 1 2] 4 ,	7680	2 40	4,8,12,20	0.8.12.16
třicet	čtyři	W(H4 ) = (SL2 ( 5 )*SL2 ( 5 )). Z2 _ skupina Coxeter [5,3,3],	14400	2 60	2,12,20,30	0.10.18.28
31	čtyři	W(EN 4 ) = W(O 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sp 4 (2)	46080	2 60	8,12,20,24	0.12.16.28
32	čtyři	W(L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3), 3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 80	12,18,24,30	0.6.12.18
33	5	W(K 5 ) = Z 2 ×Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3)= Z 2 × PSU 4 (2) [1 2 2] 3 ,	51840	2 45	4,6,10,12,18	0.6.8.12.14
34	6	W ( K6 ) = Z3.Ω− 6(3). Z 2 , Mitchell group [1 2 3] 3 ,	39191040	2126 _	6,12,18,24,30,42	0.12.18.24.30.36
35	6	W(E6 ) = S05 ( 3 ) = O- 6(2) = PSp4 ( 3 ). Z2 = PSU 4 (2). Z2 , Weilova skupina [ 32,2,1 ] ,	51840	2 36	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E7 ) = Z2 ×Sp6 ( 2 ), skupina Weil [3 3,2,1 ],	2903040	263 _	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	osm	W( E8 ) = Z2.0 + 8(2), Weylová skupina [ 34,2,1 ],	696729600	2 120	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Vlastnosti

Konečná grupa působící na komplexní vektorový prostor je komplexní reflexní grupa právě tehdy, když je invariantní kruh polynomiální kruh.

Jestliže je hodnost reflexní grupy, pak se mocniny generátorů kruhu invariantů nazývají mocniny W . Jsou uvedeny ve sloupci nad sloupcem "stupně". Mnoho dalších skupinových invariantů je definováno mocninami: $\ell$ ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell ))$
- Střed neredukovatelné reflexní grupy je cyklický a jeho řád je roven největšímu společnému děliteli mocnin.
- Pořadí reflexní skupiny se rovná součinu jejích pravomocí.
- Počet odrazů skupiny se rovná součtu stupňů mínus hodnost.
- Síly uspokojují následující identitu $d_{i}$ $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$
Každá neredukovatelná skupina komplexních odrazů má minimální počet generátorů neboli odrazů. $n$ $n+1$
- Minimální počet generátorů je roven n, což je ekvivalentní skutečnosti, že pro všechny . ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell ))$ $i$
  - Konkrétně pro skupinu to platí pouze pro p = 1 nebo m . $G(m,p,n)$

Odkazy

Broue, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1995), O komplexních reflexních skupinách a jejich přidružených copových skupinách , Representations of groups (Banff, AB, 1994) , sv. 16, CMS Conf. Proc., Providence, R.I.: American Mathematical Society , str. 1–13 , < http://www.math.ucla.edu/~rouquier/papers/banff.pdf > Archivováno 4. března 2016 ve Wayback Machine
Broue, Michel; Malle, Gunter & Rouquier, Raphaël (1998), Komplexní reflexní skupiny, Braidové skupiny, Heckeho algebry , Journal für die reine und angewandte Mathematik T. 500: 127–190, ISSN 0075-4102 , DOI 10.1541915/DOI
Deligne, Pierre (1972), Les immeubles des groupes de tresses généralisés , Inventiones Mathematicae vol . 17 (4): 273–302, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01406236
Hiller, Howard Geometrie Coxeterových skupin. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4 *
Lehrer, Gustav I. & Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups , sv. 20, série přednášek Australian Mathematical Society, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3
Shephard, G. C. & Todd, J. A. (1954), Finite unitary reflection groups , Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathematiques (Kanadská matematická společnost). — V. 6: 274–304, ISSN 0008-414X , doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , < https://books.google.com/?id=Bi7EKLHppuYC >
Coxeter , Finite Groups Generated by Unitary Reflections , 1966, 4. The Graphical Notation , Tabulka n-rozměrných skupin generovaných n Unitary Reflections. str. 422-423