Skupinová analýza diferenciálních rovnic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Skupinová analýza diferenciálních rovnic je obor matematiky, který studuje symetrické vlastnosti diferenciálních rovnic s ohledem na různé transformace závislých a nezávislých proměnných. Zahrnuje metody a aplikované aspekty diferenciální geometrie , teorie Lieových grup a algeber , variačního počtu a je zase účinným výzkumným nástrojem v teorii ODR , PDR a matematické fyzice .

Motivace

Pokud se diferenciální rovnice po nějaké změně proměnných (až do identických transformací) transformuje do sebe, pak tato změna přemění jakékoli řešení rovnice zpět na řešení, obecně řečeno, nesplývající s původním. Všechna taková nahrazení tvoří skupinu nazývanou grupa symetrie diferenciální rovnice nebo grupa připouštěná diferenciální rovnicí. Znalost grupy symetrie a některých partikulárních řešení tedy umožňuje konstruovat rodiny řešení získaných z původních aplikací aplikací všech transformací grupy. Pokud je navíc některé řešení rovnice vzhledem ke grupě (nebo některé její podgrupě ) invariantní , klade tato skutečnost na její tvar určité podmínky, což nám umožňuje očekávat zjednodušení původní rovnice, pokud je omezena na takovou invariantní řešení (zejména pokles počtu nezávisle proměnných). Tyto úvahy vedou k problému obecných metod hledání přípustné grupy dané diferenciální rovnice. Na druhou stranu podle dané skupiny transformací lze v zásadě sestrojit soubor diferenciálních rovnic, které to umožňují jako jejich grupa symetrie, což je důležité zejména pro základní úseky teoretické fyziky .

Dobře propracované metody teorie grup a diferenciální geometrie umožňují dávat výše uvedeným úvahám rigorózní formulace a konstruktivně řešit řadu souvisejících problémů a také významně rozšiřují arzenál nástrojů pro studium kvalitativního chování řešení diferenciálních rovnic, numerických integrace atd.

Definice

Nechť a označme množiny nezávislých, respektive závislých proměnných nějaké soustavy diferenciálních rovnic řádu ${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},...x^{n})\in X=R^{n))$ ${\displaystyle u=(u^{1},u^{2},...,u^{m})\in U=R^{m))$ $s$

F(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {s}{u}})=0,\qquad F=(F^{1},F ^{2},...,F^{m}),

(jeden)

a je množina všech možných derivací řádu . Systém rovnic ( 1 ) definuje nějakou podvarietu v prostoru . ${\underset {k}{u}}\in {\underset {k}{U}}$ $k$ ${\underset {s}{Z}}=X\times U\times {\underset {1}{U}}\times ...\times {\underset {s}{U}}$ $M$

Nechme Lieovu grupu působit v prostoru nezávislých a závislých proměnných pomocí transformací $G$ ${\underset {0}{Z}}\equiv Z=X\times U$

x'=\phi (x,u,g),\quad u'=\psi (x,u,g),\quad g\in G.

(2)

Přepočtem derivací na transformované proměnné se transformace ( 2 ) jednoznačně rozšíří na celý prostor : ${\underset {s}{Z))$

{u'}_{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }\equiv {\frac {\partial u'^{\alpha }}{\partial x'^{a_ {1}}...\částečné x'^{a_{k}}}}=\psi _{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {k}{u}},g),\quad k=1,...,s.

Grupa se nazývá grupa symetrie systému ( 1 ) , pokud je varieta invariantní varieta tého pokračování děje ( 2 ), tedy akce ( 2 ) rozšířená na derivace až do řádu včetně. Akce každé jednoparametrové podskupiny ( viz exponenciální mapování ) skupiny v prostoru je generována vektorovým polem (zde a níže je implikováno Einsteinovo sčítací pravidlo ) $G$ $M$ $s$ $s$ ${\displaystyle e^{tA))$ $A\in {\mathcal {G}}=\mathrm {Lež} \,G$ $G$ $X\times U$

Y_{A}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\eta ^{\alpha }(x,u){ \frac {\partial }{\částečné u^{\alpha }}},\quad \xi ^{a}=\left.{\frac {d\phi ^{a}(x,u,e^{tA })}{dt))\right|_{t=0},\quad \eta ^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi ^{\alpha }(x,u,e^{ tA})}{dt}}\right|_{t=0}.

(3)

Odpovídající generátor akce podskupiny rozšířený do prostoru , $g(t)$ ${\underset {s}{Z))$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\ eta ^{\alpha }(x,u){\frac {\částečné }{\částečné u^{\alpha ))}+\součet \limits _{|I|=1}^{s}\theta _{ I}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}}){\frac {\partial }{\partial u_{I}^{\alpha }}},\quad \theta _{I}^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi _{I}^{\alpha }(x,u, {\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}},e^{tA})}{dt}}\right|_{t=0},

(čtyři)

kde je multi-index , se nazývá th pokračování generátoru . Analogicky, formálním přidáním neomezeného počtu členů do řady ( 4 ) s derivacemi vyšších řádů, se zavádí pojem nekonečného pokračování . V tomto případě otázka konvergence této řady nevyvstává, protože v praxi se vždy musíme zabývat funkcemi, které závisí na derivacích konečného řádu. $já$ $s$ $Y_{A}$ ${\displaystyle {\underset {\infty \ \ \ }{Y_{A))))$

Hlavní ustanovení a výsledky

Koeficienty kontinuálních generátorů

Explicitní tvar koeficientů pokračujícího generátoru je nalezen diferencováním omezení

d{u'}^{\alpha }={u'}_{a}^{\alpha }d{x'}^{a},\quad d{u'}_{a}^{ \alpha }={u'}_{ab}^{\alpha }d{x'}^{b}

atd., superponované na souřadnice v prostoru , podle transformačního parametru na . Chcete-li například najít koeficienty v , zvažte vztahy ${\underset {s}{Z))$ $t$ $t = 0$ $\partial /\partial u_{a}^{\alpha }$

d{u'}^{\alpha }=\left({\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\částečné u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}={u'}_{a}^{\ alpha }d{x'}^{a}={u'}_{b}^{\alpha }\left({\frac {\částečné {x'}^{b)){\částečné x^{a ))}+{\frac {\částečné {x'}^{b}}{\částečné u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}.

Přirovnání koeficientů at a jejich derivování vzhledem k at , s přihlédnutím k výrazům ( 3-4 ) , které máme ${\displaystyle dx^{a))$ $t$ $t = 0$

{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }=\theta _{a}^{\alpha }+u_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial \xi ^{b)) {\částečné x^{a))}+{\frac {\částečné \xi ^{b)){\částečné u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }\right),

kde

\theta _{a}^{\alpha }=D_{a}\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b},

kde je zápis

D_{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a))}+u_{a}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u^{\beta ))}+u_{ab}^{\beta }{\frac {\částečná }{\částečná u_{b}^{\beta }}}+...

pro celkový derivační operátor s ohledem na souřadnici . Podobným způsobem lze nalézt obecné opakující se a explicitní výrazy pro koeficienty libovolného pořadí: $x^{a}$

\theta _{aI}^{\alpha }=D_{a}\theta _{I}^{\alpha }-u_{bI}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b} ,\quad \theta _{I}^{\alpha }=D_{I}\left(\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }\xi ^{b}\right)+\ xi ^{b}u_{bI}^{\alpha }.

Infinitezimálním kritériem pro invarianci systému ( 1 ) je podmínka

\left.{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}F\right|_{F=0}=0,

který musí platit pro jakýkoli prvek z okolí nuly v Lie algebře . Protože tato podmínka obsahuje nejen proměnné a , na kterých závisí koeficienty generátoru , ale také derivace, obecně řečeno až do řádu včetně, které se v tomto případě jeví jako nezávislé proměnné, pro kterékoliv hodnoty musí podmínka být splněn, pak se rozpadne do soustavy zpravidla předefinovaných lineárních diferenciálních rovnic pro koeficienty , . Po vyřešení tohoto systému lze v zásadě obnovit (lokální) působení skupiny v prostoru , a pak i v . $A$ ${\cal {G}}$ $X$ $u$ $Y$ $s$ ${\displaystyle \xi ^{a))$ ${\displaystyle \eta ^{\alpha ))$ $G$ $X\times U$ ${\underset {s}{Z))$

Diferenciální invarianty

Diferenciální invariant řádu $s$ grupy je diferencovatelná funkce na , v závislosti na derivacích řádu , a invariant pod th pokračováním akce této grupy. Invarianty diferenciálního řádu splňují systém lineárních rovnic prvního řádu $G$ ${\underset {s}{Z))$ $k$ $s$ $s$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{i))}J=0,\qquad i=1,...,\dim G,

kde je základ generátorů skupiny na . Z obecné teorie takových systémů vyplývá, že libovolný invariant lze vyjádřit pomocí určité minimální množiny funkčně nezávislých invariantů, kde je počet nezávisle proměnných a je počet nezávislých rovnic v systému, který se rovná maximální hodnost jeho matice koeficientů. $Y_{i}$ $G$ $Z$ $Nr$ ${\displaystyle N=n+m\,C_{s}^{n+s))$ $r$

Významná část aplikací skupinové analýzy je založena na následující větě.

Znalost diferenciálních invariantů tedy umožňuje nalézt obecný tvar rovnic, které jsou vzhledem k dané grupě invariantní, a analýza struktury Lieovy algebry grupy symetrie umožňuje zvolit změnu proměnných, která redukuje danou rovnici do co nejjednodušší podoby, např. umožňující redukci objednávky (viz část " Přílohy ").

Invariantní diferenciace

Operátor invariantní diferenciace grupy je diferenciální operátor, který při působení na diferenciální invariant této grupy dává diferenciální invariant vyššího řádu. Z definice vyplývá, že operátor je operátorem invariantní diferenciace skupiny právě tehdy, když komutuje s jakýmkoli generátorem pokračující akce této skupiny: $G$ $\delta$ $G$ ${\underset {\infty }{Y}}$

\left[\delta ,\,{\underset {\infty }{Y}}\right]=0.

(5)

Pro jakoukoli skupinu prostorových transformací existují invariantní derivační operátory prvního řádu, které jsou lineárně nezávislé na poli invariantů dané grupy. Tyto invarianty mají tvar a při zohlednění ( 5 ) splňují soustavu rovnic $G$ $Z=X\times U$ $n=\dim X$ $\delta =\lambda ^{a}D_{a}$

{\underset {\kappa \ \ }{Y_{i))}\lambda ^{a}=\lambda ^{b}D_{b}\xi _{i}^{a},\qquad i =1,...,\dim G.

Číslo je nejmenším řádem pokračování skupiny, jejíž pořadí je maximální, tj. rovno . Pole diferenciálních invariantů má konečnou množinu generátorů v tom smyslu, že libovolný diferenciální invariant lze získat konečným počtem akcí, včetně funkčních operací a aplikací invariantních derivačních operátorů prvního řádu, ze základu diferenciálních invariantů řádu. . $\kappa$ $G$ $\dim G$ $\kappa +1$

Aplikace

Obyčejné diferenciální rovnice

Pro (systémy) obyčejných diferenciálních rovnic stanoví grupová analýza dostatečné podmínky pro integrabilitu v kvadraturách, a pokud jsou splněny, poskytuje algoritmus pro konstrukci obecného řešení. Pokud tyto podmínky nejsou splněny, znalost grupy symetrie umožňuje snížit řád rovnice nebo soustavy, to znamená vyjádřit jejich řešení pomocí řešení rovnice nebo soustavy nižšího řádu s menším počtem rovnic. .

Níže jsou uvedeny hlavní výsledky skupinové analýzy ve vztahu k ODR.

Downgrade

Pokud obyčejná diferenciální rovnice

F(x,u',...,u^{(s)})=0

připouští jednoparametrovou skupinu symetrie s generátorem

Y=\xi (x,u){\frac {\částečné }{\částečné x))+\eta (x,u){\frac {\částečné }{\částečné u)),

(6)

pak přechodem na proměnné, které narovnávají vektorové pole ( 6 ), lze jeho řád snížit o jedničku. Konkrétně rovnice prvního řádu, řešená s ohledem na derivaci, je za této podmínky integrována v kvadratuře.

Poslední tvrzení může být formulováno alternativně z hlediska integračního faktoru.

Integrační faktor

Obyčejná diferenciální rovnice v totálních diferenciálech

P(x,u)\,dx+Q(x,u)\,du=0

připouští jednoparametrovou skupinu symetrie s generátorem ( 6 ) právě tehdy, když funkce

\mu ={\frac {1}{P\,\xi +Q\,\eta }}

je integračním faktorem této rovnice .

Lieova věta

Výše uvedené výsledky jsou zobecněny následující větou.

S ohledem na shodu mezi rovnicemi řádu a soustavami rovnic prvního řádu platí podobná věta také pro rovnici jednoho řádu . $s$ $s$ $s$

Parciální diferenciální rovnice

Literatura

L. V. Ovsjannikov. Skupinová analýza diferenciálních rovnic. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1978. - 400 s.
P. Olver. Aplikace Lieových grup na diferenciální rovnice. Za. z angličtiny. - M. : Mir, 1989. - 639 s. — ISBN 5-03-001178-1 .
N. Kh. Ibragimov. Skupiny transformací v matematické fyzice. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1983. - 280 s.