Jedna skupina parametrů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Definice jednoparametrové grupy ( angl. One-parameter group ) nebo jednoparametrové podgrupy je spojena se spojitým homomorfismem grupy

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G

z reálné čáry (jako aditivní grupa) do nějaké topologické grupy . Jestliže je injekce , pak , obrázek, bude podskupinou isomorfní k . $\mathbb {R}$ $G$ $\varphi$ $\varphi (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathbb {R}$

Jednoparametrové skupiny zavedl Sophus Lie v roce 1893, aby definoval infinitezimální transformace. [1] Takové infinitezimální transformace vytvářejí Lieovu algebru , která se používá k popisu Lieovy grupy libovolné dimenze.

Akce skupiny s jedním parametrem na množině je známá jako tok . Hladké vektorové pole na manifoldu vytváří lokální tok , jednoparametrovou skupinu lokálních difeomorfismů , které posouvají body podél integrálních křivek vektorového pole. Lokální tok vektorového pole se používá k určení Lieovy derivace pro tenzorová pole podél vektorového pole.

Příklady

Takové jednoparametrické grupy hrají důležitou roli v teorii Lieových grup, ve které každý prvek sdružené Lieovy algebry definuje homomorfismus. V případě maticových grup je homomorfismus dán exponentem matice .

Další důležitý případ je přítomný ve funkcionální analýze , kde je skupina unitárních operátorů v Hilbertově prostoru . $G$

V monografii Lee Group z roku 1957 P.M. Kohn dává následující větu:

Jakákoli spojená jednorozměrná Lieova grupa je analyticky izomorfní buď s aditivní grupou reálných čísel , nebo s aditivní grupou reálných čísel . Zejména každá jednorozměrná Lieova grupa je lokálně izomorfní .

\mathfrak{R}

{\mathfrak {T}}

\mod 1

\mathbb {R}

Fyzika

Ve fyzice se k popisu dynamických systémů používají skupiny s jedním parametrem . [2] Jestliže je soubor fyzikálních zákonů v souladu s jednoparametrovou skupinou diferencovatelných symetrií, pak má podle Noetherova teorému konzervovanou veličinu .

Při studiu časoprostoru se od práce Hermanna Minkowského v roce 1908 stalo obvyklé použití jediné hyperboly ke kalibraci časoprostorových měření . Pokud použijeme parametrizaci hyperboly pomocí hyperbolického úhlu, pak lze ve speciální teorii relativity vypočítat relativní pohyb pomocí jednoparametrové grupy charakterizované rychlostí . V relativistické kinematice a dynamice rychlost nahrazuje pojem rychlosti. Vzhledem k tomu, že rychlost nemá horní hranici, skupina, kterou tvoří, není kompaktní. Pojem rychlosti představil Edmund Whittaker v roce 1910 a o rok později se tento koncept objevil v dílech Alfreda Robba . Parametr rychlosti odpovídá délce hyperbolického versoru , jehož koncept byl zaveden v 19. století. Matematickí fyzici James Cockle, William Clifford a Alexander McFerlane použili ve svých pracích kartézský rovinný obraz pomocí operátoru , kde je hyperbolický úhel a . $(\cosh {a}+r\sinh {a})$ $A$ $r^{2}=+1$

V GL(n,ℂ)

Důležitým příkladem v Lieově transformační skupině je if is , skupina invertibilních velikostních matic s komplexními položkami. V tomto případě lze hlavní výsledek uvést takto: [3] $G$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\krát n$

Věta : Nechť je grupa s jedním parametrem. Pak existuje jedinečná matice velikosti taková, že

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

X

n\krát n

\varphi (t)=e^{tX}

pro všechny .

t\in \mathbb {R}

Z tohoto výsledku vyplývá, že je diferencovatelný, ačkoli takový předpoklad není ve větě použit. Matici lze rekonstruovat jako $\varphi$ $X$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt))\right|_{t =0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Tento výsledek lze použít například k ukázce, že jakýkoli spojitý homomorfismus mezi Lieovými grupami matic je hladký. [čtyři]

Poznámky

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Archivováno 1. února 2014 na Wayback Machine , anglický překlad D. H. Delphenicha, §8, odkaz z neoklasické fyziky
↑ Zeidler, E. (1995) Aplikovaná funkční analýza: hlavní principy a jejich aplikace Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 Věta 2.14
↑ Hall, 2015 Důsledek 3.50

Odkazy

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , sv. 222 (2. vyd.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .