Dvojitý vztah

Duální poměr (nebo složený poměr nebo zastaralý anharmonický poměr ) čtyřnásobku čísel , , , ( reálných nebo komplexních ) je definován jako $A$ $b$ $C$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

Nechybí ani symboly a . $(a,b;c,d)$ $[a,b;c,d]$

Vlastnosti

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$
Dvojitý poměr je zachován při lineárně-zlomkových transformacích , zejména nezávisí na volbě souřadnic na přímce.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

Konkrétně, je-li dvojnásobný poměr čtveřice čísel , pak se dvojnásobný poměr kterékoli z 24 permutací čísla 4 rovná jedné z následujících šesti hodnot:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda )),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda )),{\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac {\lambda }{\lambda -1))

Variace a zobecnění

Dvojitý (nebo komplexní) poměr čtyř bodů , , , ležících na jedné ( reálné nebo komplexní ) přímce se nazývá číslo $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

kde , , , označují souřadnice bodů , , , resp. Dvojitý poměr nezávisí na volbě souřadnice na přímce. Často se také píše takto: $A$ $b$ $C$ $d$ $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

což znamená, že (respektive ) označuje poměr směrovaných segmentů . $AC/BC$ $AD/BD$

Dvojitý vztah čtyř bodů na přímce je zachován při projektivních transformacích roviny nebo prostoru.

Dvojitý poměr čtyř čar , , , procházejících jedním bodem je číslo $A$ $b$ $C$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

jehož znaménko je zvoleno následovně: jestliže jeden z úhlů, které svírají přímky a neprotíná žádnou z přímek nebo (v tomto případě dvojice přímek a neodděluje dvojici přímek a ), pak ; jinak . $A$ $b$ $C$ $d$ $A$ $b$ $C$ $d$ $(ab,cd)>0$ $(ab,cd)<0$

Nechte čtyři úsečky , , , procházet bodem a čára neobsahuje . Nechť čáry , , , se protínají s příslušnými body , , a . Pak $A$ $b$ $C$ $d$ $Ó$ $\ell$ $Ó$ $A$ $b$ $C$ $d$ $\ell$ $A$ $B$ $C$ $D$ $(ab,cd)=(AB,CD).$

Viz také

Odkazy

R. Courant , G. Robbins , Co je matematika?
Anharmonický poměr bodů // Encyklopedický slovník Brockhausův a Efronův : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Šátek, Micheli . O anharmonické funkci čtyř bodů nebo čtyř čar // Historický přehled vzniku a vývoje geometrických metod. T. 2. Přibl. IX. M., 1883.