Dedekindova sekce je jedním ze způsobů, jak sestrojit reálná čísla z racionálních [1] .
Množina reálných čísel je definována jako množina sekcí Dedekind. Na nich je možné pokračovat v operacích sčítání a násobení .
Metodu představil v roce 1872 Richard Dedekind [2] [3] .
Podobná konstrukce pro geometrické veličiny je implicitně přítomna v Euklidových prvcích , konkrétně v Knize V, definice 5 zní takto:
Říkají, že množství jsou ve stejném poměru prvního k druhému a třetího ke čtvrtému, jestliže stejné násobky prvního a třetího jsou současně větší, současně stejné nebo současně menší než stejné násobky druhého a čtvrtého. , každý pro libovolnou násobnost, pokud je vezmeme v příslušném pořadí (9, 10, 11, 12). [4] .
Podobné myšlenky publikoval v roce 1849 francouzský matematik Joseph Bertrand [5] .
Dedekindova sekce je rozdělení množiny racionálních čísel na dvě podmnožiny (dolní nebo levou) a (horní nebo pravou), takže [6] :
Dále je označena sekce Dedekind (ačkoli by stačilo označit jednu z těchto množin, druhá ji doplňuje ).
Pokud má množina největší prvek, pak může být sekce Dedekind identifikována s tímto racionálním číslem. Jinak cut definuje iracionální číslo , které je větší než všechna čísla v sadě a menší než všechna čísla v sadě . Definováním aritmetických operací a pořadí na získané množině úseků získáme těleso reálných čísel a každý úsek určuje pouze jedno reálné číslo.
Reálné číslo odpovídá sekci Dedekind, pro kterou [7] :
hodně hodněIntuitivně si lze představit, že abychom určili , rozdělíme množinu na dvě části: všechna čísla nalevo od a všechna čísla napravo od ; respektive se rovná nejmenší spodní hranici množiny .
Zavedeme pořadí v sadě sekcí. Nejprve určíme, že dvě sekce a jsou si rovny if (pak a ). Dále definujte [8] :
, pokud a zároveňJe snadné zkontrolovat, zda jsou splněny všechny požadavky lineárního řádu . U racionálních čísel je navíc nové pořadí stejné jako staré.
Z této definice řádu vyplývá:
Věta o aproximaci . Každé reálné číslo lze aproximovat racionálními čísly s libovolnou přesností, to znamená, že je lze uzavřít do intervalu s racionálními hranicemi libovolně malé délky [9] .K definování aritmetických operací se sekcemi lze použít aproximační větu formulovanou v předchozí části.
Nechť jsou reálná čísla. Podle aproximační věty lze specifikovat aproximační intervaly s racionálními hranicemi:
Pak součet [10] je reálné číslo obsažené ve všech intervalech tvaru Součet reálných čísel vždy existuje, je jednoznačně definován a pro racionální čísla se shoduje s předchozí definicí součtu. Odečítání je vždy možné, proto s ohledem na takto definovanou operaci sčítání tvoří reálná čísla aditivní grupu .
Podobně je definováno násobení reálných čísel, které spolu se sčítáním přemění množinu reálných čísel na uspořádané těleso [11] .
Dedekindovy úseky lze podobně definovat nejen pro racionální čísla, ale také v jakékoli jiné lineárně uspořádané množině . Viz Úplnost (teorie řádu) . Lze ukázat, že aplikace tohoto postupu na množinu reálných čísel opět dává
Ke konstrukci surrealistických čísel se používá analog Dedekindových sekcí [12] .