Sekce Dedekind

Dedekindova sekce je jedním ze způsobů, jak sestrojit reálná čísla z racionálních [1] .

Množina reálných čísel je definována jako množina sekcí Dedekind. Na nich je možné pokračovat v operacích sčítání a násobení .

Historie

Metodu představil v roce 1872 Richard Dedekind [2] [3] .

Podobná konstrukce pro geometrické veličiny je implicitně přítomna v Euklidových prvcích , konkrétně v Knize V, definice 5 zní takto:

Říkají, že množství jsou ve stejném poměru prvního k druhému a třetího ke čtvrtému, jestliže stejné násobky prvního a třetího jsou současně větší, současně stejné nebo současně menší než stejné násobky druhého a čtvrtého. , každý pro libovolnou násobnost, pokud je vezmeme v příslušném pořadí (9, 10, 11, 12). [4] .

Podobné myšlenky publikoval v roce 1849 francouzský matematik Joseph Bertrand [5] .

Definice

Dedekindova sekce je rozdělení množiny racionálních čísel na dvě podmnožiny (dolní nebo levou) a (horní nebo pravou), takže [6] : $\mathbb {Q}$ $A$ $B$

$a<b$ pro jakékoli a , $v A$ $b\in B$
$B$ nemá nejmenší prvek.

Dále je označena sekce Dedekind (ačkoli by stačilo označit jednu z těchto množin, druhá ji doplňuje ). $(A,B)$ $\mathbb {Q}$

Pokud má množina největší prvek, pak může být sekce Dedekind identifikována s tímto racionálním číslem. Jinak cut definuje iracionální číslo , které je větší než všechna čísla v sadě a menší než všechna čísla v sadě . Definováním aritmetických operací a pořadí na získané množině úseků získáme těleso reálných čísel a každý úsek určuje pouze jedno reálné číslo. $A$ $A$ $B$

Příklad

Reálné číslo odpovídá sekci Dedekind, pro kterou [7] : ${\sqrt {2}}$

hodně

A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\nebo x^{2}<2\}.

hodně

B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};

Intuitivně si lze představit, že abychom určili , rozdělíme množinu na dvě části: všechna čísla nalevo od a všechna čísla napravo od ; respektive se rovná nejmenší spodní hranici množiny . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $B$

Objednávání sekcí Dedekind

Zavedeme pořadí v sadě sekcí. Nejprve určíme, že dvě sekce a jsou si rovny if (pak a ). Dále definujte [8] : $(A,B)$ $(C,D)$ $A=C$ $B=D$

(A,B)<(C,D)

, pokud a zároveň

A\subset C

A\neq C.

Je snadné zkontrolovat, zda jsou splněny všechny požadavky lineárního řádu . U racionálních čísel je navíc nové pořadí stejné jako staré.

Z této definice řádu vyplývá:

Věta o aproximaci . Každé reálné číslo lze aproximovat racionálními čísly s libovolnou přesností, to znamená, že je lze uzavřít do intervalu s racionálními hranicemi libovolně malé délky [9] .

Aritmetika sekcí Dedekind

K definování aritmetických operací se sekcemi lze použít aproximační větu formulovanou v předchozí části.

Nechť jsou reálná čísla. Podle aproximační věty lze specifikovat aproximační intervaly s racionálními hranicemi: $\alpha ,\beta$

a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.

Pak součet [10] je reálné číslo obsažené ve všech intervalech tvaru Součet reálných čísel vždy existuje, je jednoznačně definován a pro racionální čísla se shoduje s předchozí definicí součtu. Odečítání je vždy možné, proto s ohledem na takto definovanou operaci sčítání tvoří reálná čísla aditivní grupu . $\alpha +\beta$ $(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).$

Podobně je definováno násobení reálných čísel, které spolu se sčítáním přemění množinu reálných čísel na uspořádané těleso [11] .

Variace a zobecnění

Viz také: Dedekind-McNeil dokončení

Dedekindovy úseky lze podobně definovat nejen pro racionální čísla, ale také v jakékoli jiné lineárně uspořádané množině . Viz Úplnost (teorie řádu) . Lze ukázat, že aplikace tohoto postupu na množinu reálných čísel opět dává $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

Ke konstrukci surrealistických čísel se používá analog Dedekindových sekcí [12] .

Viz také

Konstruktivní způsoby definování reálného čísla

Poznámky

↑ Encyklopedie matematiky, 1979 .
↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( online ).
↑ Richard Dedekind. Spojitost a iracionální čísla = Stetigkeit und irrationale Zahlen / per. s ním. S. O. Šatunovskij . - 4. - Matesis , 1923.
↑ Počátky Euklida . Překlad z řečtiny a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského za redakční účasti I. N. Veselovského a M. Ya. Vygodského . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Knihy I-VI na www.math.ru Archivováno 6. října 2015 na Wayback Machine nebo na mccme.ru Archivováno 11. srpna 2011 na Wayback Machine ; Knihy VII-X na www.math.ru Archivováno 6. října 2015 na Wayback Machine nebo na mccme.ru Archivováno 18. září 2011 na Wayback Machine ; Knihy XI-XIV na www.math.ru Archivováno 6. října 2015 na Wayback Machine nebo na mccme.ru Archivováno 20. září 2011 na Wayback Machine
↑ Bertrand, Josef. Traité d'aritmétique . - 1849. - "Nesouměřitelné číslo lze definovat jednoduchým uvedením toho, jak lze pomocí jednotky vytvořit velikost, kterou vyjadřuje. Dále předpokládáme, že tato definice sestává z označení toho, která souměřitelná čísla jsou menší nebo větší než daná. Archivováno 17. ledna 2021 na Wayback Machine
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 17-18.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 18, 36.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 19-21.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 22-24.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 28-31.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 31-34.
↑ Viz Conwayova přednáška, přibližně od 0:16:30 do 0:19:30 . Získáno 11. října 2020. Archivováno z originálu dne 9. listopadu 2020. (neurčitý)

Literatura

Kudryavtsev L. D. Dedekind sekce // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1979. - T. 2: D - Koo. - S. 65. - 1104 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - Ed. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 s.