Nulový dělitel

V obecné algebře se prvek kruhu nazývá [1] : $A$

levý nulový dělitel , pokud existuje nenulový takový, že

b

ab=0;

pravý dělitel nuly , pokud existuje nenulový takový, že

b

ba=0.

Dále je v tomto článku kruh považován za netriviální, to znamená, že obsahuje prvky jiné než nula.

Prvek, který je pravým i levým nulovým dělitelem, se nazývá nulový dělitel . Pokud je násobení v kruhu komutativní , pak pojmy pravého a levého dělitele jsou stejné. Prvek kruhu , který není ani pravým ani levým nulovým dělitelem, se nazývá regulární prvek [2] .

Nula kruhu se nazývá nevlastní (nebo triviální ) nulový dělitel. Podle toho se nenulové prvky, které jsou nulovými děliteli, nazývají vlastní (netriviální) nulové dělitele.

Komutativní okruh s jednotkou, ve kterém nejsou žádné netriviální nulové dělitele, se nazývá doména integrity [3] .

Vlastnosti

Pokud není levý nulový dělitel, pak lze rovnost snížit podobně jako pravý nulový dělitel. Zejména v oblasti integrity je vždy možné snížení o nenulový faktor [3] . $A$ $ab=ac$ $a;$

Množina regulárních prvků komutativního kruhu je uzavřena násobením.

Reverzibilní prvky prstence nemohou být nulovými děliteli [2] . Reverzibilní prvky prstence se často nazývají „dělitelé jedničky“, takže předchozí tvrzení může být uvedeno jinak: dělitel jedné nemůže být zároveň dělitelem nuly. Z toho vyplývá, že v jakémkoli tělese nebo poli mohou být nulové dělitele [4] .

V komutativním konečném kruhu s jedničkou je každý nenulový prvek buď invertibilní, nebo je nulovým dělitelem. Důsledek: netriviální komutativní konečný okruh bez nulových dělitelů je pole (existenci jednotky v okruhu lze rigorózně dokázat).

Lineárně uspořádaný okruh s přísným řádem (tj. pokud je součin kladných prvků kladný) neobsahuje nulové dělitele [5] , viz také příklad uspořádaného okruhu s nulovými děliteli níže.

Nilpotentní prvek prstence je vždy (jak levý, tak pravý) nulový dělitel. Idempotentní prvek kruhu jiný než jedna je také nulový dělitel, protože $C$ $c(1-c)=0.$

Příklady

Okruh celých čísel neobsahuje žádné netriviální nulové dělitele a je doménou integrity .

V kruhu modulo zbytků, pokud k není stejné jako m , pak zbytek k je nulový dělitel. Například v kruhu jsou prvky 2, 3, 4 nulové dělitele: $\mathbb {Z} _{m}$ $m,$ ${\mathbb Z}_{6}$

2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0

V maticovém kruhu řádu 2 nebo více jsou také nulové dělitele, například:

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\ konec{pmatrix}}

Protože determinant součinu je roven součinu determinantů faktorů, je maticový součin pouze nulovou maticí, pokud je determinant alespoň jednoho z faktorů nulový. Navzdory nekomutativnosti násobení matic se koncepty levých a pravých nulových dělitelů v tomto kruhu shodují; všichni nuloví dělitelé jsou degenerované matice s nulovým determinantem.

Příklad uspořádaného kruhu s nulovými děliteli: pokud v aditivní skupině celých čísel položíme všechny součiny rovné nule, dostaneme uspořádaný kruh, ve kterém je libovolný prvek nulovým dělitelem (jednička pak není neutrální prvek pro násobení, tak se získá prsten bez jedničky) [6 ] [7] .

Poznámky

↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , str. 51.
↑ 1 2 Zarissky, Samuel, 1963 , str. 19.
↑ 1 2 Van der Waerden. Algebra, 1975 , str. 52.
↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , str. 55.
↑ Nechaev, 1975 , s. 90.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebraické struktury. Lineární algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 s.
↑ Bourbaki N. Algebra. Polynomy a pole. Objednané skupiny. - M. : Nauka, 1965. - S. 272. - 299 s.

Literatura

Van der Waerden . Algebra. Definice, věty, vzorce. - M .: Mir, 1975. - 649 s.
- Reedice: Petrohrad: Lan, 2004, ISBN 5-8114-0552-9 , 624 s.
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra . - M. : IL, 1963. - T. 1. - 370 s.
Nechaev V. I. Numerické soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - 199 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Zero Divisor (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .