Zlevněná hodnota

Diskontovaná (současná, současná) hodnota - odhad hodnoty (aktuálního peněžního ekvivalentu) budoucího toku plateb na základě různé hodnoty peněz přijatých v různých okamžicích ( koncept časové hodnoty peněz ). Částka peněz přijatá dnes má obvykle vyšší hodnotu než stejná částka přijatá v budoucnu. To je způsobeno skutečností, že dnes přijaté peníze mohou po jejich investování generovat příjem v budoucnu. Navíc peníze přijaté v budoucnu z hlediska inflace se znehodnocují (za stejnou částku si v budoucnu můžete koupit menší množství zboží a služeb). Existují také další faktory, které snižují náklady na budoucí platby. Disparita různých částek peněz je vyjádřena číselně v diskontní sazbě .

Diskontovaná hodnota nějaké budoucí částky se rovná množství peněz, které, pokud jsou nyní investovány (s výnosem rovným diskontní sazbě ), v budoucnu (současně) částku obdrží . Diskontovaná hodnota toku plateb se rovná součtu diskontovaných hodnot jednotlivých plateb zahrnutých v tomto toku. Ve skutečnosti se rovná diskontované hodnotě budoucí hodnoty peněžního toku (částka, která bude přijata v budoucnu, pokud bude peněžní tok investován v době přijetí plateb za diskontní sazbu). $X$ $X$

Současná hodnota je široce používána v ekonomii a financích jako nástroj pro porovnávání platebních toků přijatých v různých časech. Model současné hodnoty vám umožňuje určit, jakou finanční investici je investor ochoten vynaložit, aby získal daný peněžní tok. Současná hodnota budoucího toku plateb je funkcí diskontní sazby, kterou lze určit v závislosti na:

návratnost alternativních investic;
náklady na získání (vypůjčení) finančních prostředků;
inflace ;
období, po kterém se očekává budoucí tok plateb;
riziko spojené s daným budoucím tokem plateb;
další faktory.

Současná hodnota se používá jako základ pro výpočet amortizace finančních půjček.

Praktické vysvětlení

Hodnota peněz se v čase mění. 100 rublů přijatých po pěti letech má jinou (ve většině případů menší) hodnotu než 100 rublů, které jsou k dispozici. Volné prostředky lze investovat do bankovního vkladu nebo jiného investičního nástroje, který bude poskytovat úrokový výnos . To je 100 rublů. dnes dejte 100 rublů. plus úrokový výnos po pěti letech. Navíc za dostupných 100 rublů. můžete si koupit produkt, který za pět let bude mít vyšší cenu kvůli inflaci. Proto 100 rublů. za pět let jim nebude umožněno koupit stejný produkt. V tomto příkladu vám indikátor zlevněné hodnoty umožňuje vypočítat, kolik dnes stojí 100 rublů, které budou přijaty za pět let.

Akumulace a diskontování úroků

Nechte investovat nějaké množství peněz tempem za jednotku času (den, měsíc, čtvrtletí, rok). Předpokládá se, že úroky jsou naakumulovány a kapitalizovány v každé jednotce času a skutečně reinvestovány. Poté bude v budoucnu přijata částka vypočtená pomocí vzorce složeného úroku: $PV$ $i$ $t$ $FV_{t}$

{\displaystyle FV_{t}=PV(1+i)^{t))

Pokud je tedy dána částka peněz pro nějaký budoucí časový okamžik , je možné vypočítat částku , která musí být investována v kurzu , aby bylo do tohoto okamžiku přijato, následovně: $FV_{t}$ $t$ $PV$ $i$ $FV_{t}$

PV=FV_{t}(1+i)^{-t}\,={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

Hodnota se nazývá diskontovaná (daná, aktuální) hodnota budoucí částky a sazba je diskontní sazba . Samotná operace zjištění současné hodnoty budoucí částky se nazývá diskontování . $PV$ $FV_{t}$ $i$

V obecném případě lze součet snížit na jakýkoli časový bod (nejen na aktuální):

$PV_{t_{0}}={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t-t_{0}}}$

Přivedení různých částek ke stejnému časovému okamžiku je činí srovnatelnými (ekvivalentními) z hlediska konceptu časové hodnoty peněz . Předpokládá se, že do nějakého nástroje (například bankovního vkladu) je možné vložit libovolnou částku kdykoliv s výnosem . Povaha nástroje není podstatná, důležitý je pouze výnos při srovnatelném riziku. Pokud se jako hodnota použije inflace, jedná se o investice do zboží a služeb, které se zdražují. Mohou to být náklady na přilákání (půjčení) peněz. $i$ $i$ $i$

Příklad

Pokud se po 1 roce očekává částka 121 rublů, pak se diskontní sazbou 10 % ročně bude diskontovaná hodnota rovnat rublům. Pokud se stejná částka očekává až po dvou letech, pak je současná hodnota Rs. $121/(1+0{,}1)=110$ $121/(1+0{,}1)^{2}=121/1{,}21=100$

V tabulkových procesorech zahrnují finanční funkce funkci pro výpočet současné hodnoty. OpenOffice.org Calc používá funkci PV k výpočtu současné hodnoty různých typů plateb.

Diskontovaná hodnota peněžních toků

Cash flow

Cash flow je časově rozložený pohyb hotovosti. V mnoha případech (vklady, půjčky, cenné papíry atd.) je peněžní tok časově uspořádaný soubor peněžních částek (plateb) - jedná se o tzv. diskrétní peněžní tok nebo platební tok . Tedy tok plateb , kde je platba v daném okamžiku provedena , . V tomto případě může být formálně n také nekonečné (nekonečný proud plateb). Pokud jsou platby prováděny v pravidelných intervalech, pak se někdy takový tok plateb nazývá finanční renta. Anuita s konstantní splátkou se nazývá anuita (v některých zdrojích jsou finanční anuita a anuita ekvivalentní pojmy). $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\displaystyle CF_{k))$ $t_k$ $k=1..n$

V některých případech může být frekvence plateb tak velká, že peněžní tok lze považovat za nepřetržitý . To je zejména případ peněžních toků z běžné provozní činnosti společností, toků z investičních projektů atd. Formálně lze pro kontinuální toky zavést funkci hustoty toků . V praxi je však spojitý čas nahrazen časem diskrétním. Analyzované období je totiž rozděleno na stejná období (měsíc, čtvrtletí, rok) a každé období dostává pořadové číslo (jedná se o diskrétní čas). Pak je peněžní tok za každé takové období vlastně platbou v diskrétním časovém okamžiku odpovídajícímu tomuto období. Tím je kontinuální tok redukován, přesněji modelován jako výše popsaný diskrétní tok (platební tok). Často se to také interpretuje jako platby provedené na konci příslušného období – jedná se o tzv. postnumerando tok . V některých případech jsou toky považovány za platby na začátku každého období – tok předčíslí . $c(t)$ ${\displaystyle CF_{t))$

Můžeme tedy předpokládat, že peněžní tok CF je vždy dán uspořádaným souborem peněžních částek - prvků peněžního toku (plateb). ${\displaystyle CF_{t))$

Současná hodnota toku plateb

Diskontovaná hodnota toku plateb , kde je platba provedena v okamžiku , se rovná součtu diskontovaných hodnot každé ze složek toku: $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\displaystyle CF_{k))$ $t_k$ $k=1..n$

PV=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}\,}

Odvození vzorce

Tok plateb bude rozdělen na první a zbytek . Označme hodnotu zbytkového peněžního toku sníženou do doby první platby . Součty a se vztahují ke stejnému časovému okamžiku a lze je snížit na aktuální okamžik dělením $CF_{1}$ $(CF_{2},CF_{3},....)$ $PV_{1}^{*}$ $CF_{1}$ $PV_{1}^{*}$ $(1+i)^{t_{1))$

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {PV_{1}^{*}}{(1+ i)^{t_{1}}}}}$

Podobně můžeme zbytkový tok rozdělit na platbu a zbývající tok po a získat $CF_{2}$ $t_{2}$

$PV_{1}^{*}={\frac {CF_{2}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}+{\frac {PV_{2} ^{*}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}$

Když to dosadíme do prvního vzorce, dostaneme

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{ t_{2))))+{\frac {PV_{2}^{*}}{(1+i)^{t_{2}}}}$

Obdobným způsobem a dále až do poslední platby nakonec získáme vzorec pro diskontovanou hodnotu celého peněžního toku

$PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}$

Výklad

Při investování částky za období do sázky bude částka nakonec obdržena: $PV$ ${\displaystyle t>=t_{n))$ $i$

$FV=PV*(1+i)^{t}=\sum _{k=1}^{n}CF_{k}(1+i)^{t-t_{k))$

Tato částka se tedy rovná částce, která bude přijata ve stejném okamžiku, pokud budou jednotlivé prvky toku postupně investovány stejnou rychlostí až do času t. Současná hodnota peněžního toku se tedy rovná současné hodnotě kumulované částky tohoto toku.

Pokud jsou platby prováděny v pravidelných intervalech, lze vzorec zapsat bez dodatečného indexu číslování plateb . Čas a bude jednoduše představovat číslo platby: $k$ $t$

{\displaystyle PV=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t))))

Je třeba poznamenat, že v těchto vzorcích se čas měří v jednotkách období diskontní sazby i . Obvykle se sazba uvádí ročně a čas může být uveden ve dnech, měsících, čtvrtletích atd. V tomto případě by se jako čas měl použít poměr času v daných jednotkách k trvání roku ve stejných jednotkách (např. , pokud je platba splatná za čtvrtletí, pak je 0,25 roku). Pokud jsou platby prováděny v pravidelných intervalech, můžete sazbu pro toto období přepočítat pomocí vzorce složeného úročení: , kde T je délka roku v jednotkách tohoto období (například pro měsíční platbu je to 12, pro a čtvrtletní splátka je to 4 atd.). $i'=(1+i)^{1/T}-1$

Příklad

Existuje dluhopis s nominální hodnotou 1000 rublů se splatností 1 rok a čtvrtletním kupónem 20 rublů, což odpovídá kupónové sazbě 8 % ročně (20 x 4 / 1000 = 0,08). Vlastník dluhopisu obdrží v prvních třech čtvrtletích 20 rublů a ve čtvrtém čtvrtletí 20 rublů a částku zpětného odkupu. Struktura plateb je tedy následující: 20 + 20 + 20 + 1020. Období mezi platbami jsou stejná.

Nyní zlevněme tento proud plateb. Předpokládejme, že diskontní sazba je 6,14 % ročně (jedná se například o očekávanou inflaci nebo 5,5 % bezrizikovou sazbu plus rizikovou prémii 0,64 % pro nástroje s tímto rizikem – podmíněné číslo pro příklad). Čtvrtletní sazbu můžete vypočítat, protože dostáváme přibližně 1,5 % za čtvrtletí. Současná hodnota tohoto toku plateb se čtvrtletní sazbou 1,5 % tedy bude rovna $1{,}0614^{1/4}-1$

${\frac {20}{1{,}015}}+{\frac {20}{1{,}015^{2}}}+{\frac {20}{1{,}015^ {3}}}+{\frac {1020}{1{,}015^{4}}}=19{,}704+19{,}413+19{,}126+960{,}995=1019 {,}24$

Totéž lze vypočítat přímo prostřednictvím roční sazby, bez výpočtu čtvrtletní sazby, ale pomocí času jako zlomků roku:

${\frac {20}{1{,}0614^{0{,}25}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}5}}}}+{ \frac {20}{1{,}0614^{0{,}75}}}+{\frac {1020}{1{,}0614}}=1019{,}24$

Současná hodnota určitých peněžních toků

Současná hodnota anuity

Pokud je tok plateb anuitní , to znamená, že platby mají stejnou hodnotu a jsou vypláceny v pravidelných intervalech, pak má tento vzorec podobu (na základě známého vzorce pro součet geometrické progrese):

PV\,=\,{\frac {CF}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\,= \,CF\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}

kde je anuitní platba provedena jednou; — diskontní sazba ; — diskontovaná hodnota anuitních plateb . $CF$ $n$ $i$ $PV$ $CF$

Diskontovaná hodnota věčných rent ( perpetuity )

Pro věčnou anuitu, tedy s nekonečně velkou , se výraz v hranatých závorkách ve vzorci pro diskontovanou hodnotu anuity rovná jedné, takže vzorec je ještě jednodušší: $n$

PV\,=\,{\frac {CF}{i))

Diskontovaná hodnota plateb s konstantním tempem růstu

Pokud platby rostou konstantním tempem růstu g, pak se jejich diskontovaná hodnota vypočítá podle vzorce:

PV\,=\,{CF_{1} \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

kde je platba provedena v prvním období, je počet období, je diskontní sazba . $CF_{1}$ $n$ $i$

V limitě (pro nekonečně velké n) v , získáme následující jednoduchý vzorec ( Gordonovy modely ) : $g<i$

{\displaystyle PV\,=\,{CF_{1} \over ig))

Související pojmy

Čistá současná hodnota (NPV) nebo čistá současná hodnota (současná, současná) hodnota (Čistá současná hodnota, NPV) je současná hodnota budoucího příjmu z investičního projektu mínus (diskontovaná) hodnota investic do projektu. Charakterizuje efektivitu investičního projektu a je jedním z kritérií pro výběr investičních projektů.

Viz také

Zvýhodněná doba návratnosti

Poznámky

Literatura

Shiryaev A. N. Základy stochastické finanční matematiky. - M . : FAZIS, 1998. - T. 1. Fakta. Modelky. — 512 s. — ISBN 5-7036-0043-X .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online)