Diskriminační

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. ledna 2022; kontroly vyžadují 23 úprav .

Diskriminant polynomu je matematický pojem (v algebře ), označovaný písmeny D nebo Δ [1] .

Pro polynom , je jeho diskriminantem součin $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ $a_{n}\neq 0$

D(p)=a_{n}^{{2n-2}}\prod _{{i<j}}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

, kde jsou všechny kořeny polynomu (s přihlédnutím k násobkům) v nějakém rozšíření hlavního pole, ve kterém existují.

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}

Nejčastěji se používá diskriminant čtvercového trinomu , jehož znaménko určuje počet reálných kořenů.

Vlastnosti

Diskriminant je nulový právě tehdy, když má polynom více kořenů.
Diskriminant je symetrický polynom vzhledem ke kořenům polynomu a je tedy ve svých koeficientech polynom; navíc koeficienty tohoto polynomu jsou celá čísla bez ohledu na rozšíření, ve kterém jsou kořeny brány.
$D(p)={\frac {(-1)^{{n(n-1)/2}}}{a_{n}}}R(p,p')$ , kde je výslednice polynomu a jeho derivace . $R(p,p')$ $p(x)$ $p'(x)$

Příklady

Všechny následující příklady se zabývají polynomy s reálnými koeficienty a nenulovým vedoucím koeficientem.

Polynom druhého stupně

Diskriminant čtvercového trinomu je $ax^{2}+bx+c$ $D=b^{2}-4ac.$

Když bude mít trinom dva skutečné kořeny: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {D}}} }.$
Když - jeden kořen násobnosti 2 (jinými slovy dva stejné kořeny): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a}}.$
Pokud však neexistují žádné skutečné kořeny, existují dva komplexně sdružené kořeny vyjádřené stejným vzorcem jako pro pozitivní diskriminant. Může být také přepsán tak, aby neobsahoval negativní radikální výraz, a to následovně: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$ $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {D))))={\frac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|D| }}}}.$

Polynom třetího stupně

Diskriminant kubického polynomu je $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\ frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c} {3}}\right)^{2}-a^{2}d^{2}\right).

Zejména diskriminant kubického polynomu (jehož kořeny jsou počítány pomocí Cardanova vzorce ) je . $x^{3}+px+q$ $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q }{2}}\right)^{2}\right).$

Neboť kubický polynom má tři odlišné reálné kořeny. $D>0$
Pro , má násobný kořen (buď jeden kořen násobnosti 2 a jeden kořen násobnosti 1, z nichž oba jsou reálné; nebo jeden skutečný kořen násobnosti 3). $D=0$
Neboť kubický polynom má jeden skutečný kořen a dva komplexní kořeny (které jsou komplexně sdružené). $D<0$

Polynom čtvrtého stupně

Diskriminant polynomu čtvrtého stupně je roven $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

{\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a ^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e- 80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{ 3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}

Pro polynom má diskriminant tvar $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

{\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^ {3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}- 27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}r^{2}+54 \left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6 }}\right)^{4}s\right).\end{aligned}}

a rovnost definuje povrch v prostoru nazývaný vlaštovičník . $D=0$ $(q,r,s)$

V , polynom má dva různé reálné kořeny a dva komplexní kořeny. $D<0$
Když má polynom čtyři různé kořeny: buď všechny reálné, nebo všechny komplexní. $D>0$

Konkrétně pro polynom [2] :

x^{4}+qx^{2}+rx+s

if , pak jsou všechny kořeny složité; $q\geqslant 0$
jestliže a , pak všechny kořeny jsou složité; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
if a , pak všechny kořeny jsou skutečné. $q<0$ $s<{\frac {q^{2}}{4}}$

Pro , polynom má alespoň jeden násobný kořen (reálný nebo komplexní). Ve druhém případě má polynom dva komplexně sdružené násobné kořeny, a proto se rozkládá na součin dvou polynomů druhého stupně, neredukovatelných na poli reálných čísel. $D=0$

Přesněji [2] :

if a , pak jeden reálný kořen násobnosti 2 a dva komplexní kořeny; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
if a , pak tři různé reálné kořeny, z nichž jeden má násobnost 2; $q<0$ $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$
if a , pak dva reálné kořeny, z nichž každý má násobnost 2; $q<0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$
if a , pak dva reálné kořeny, z nichž jeden má násobnost 3; $q<0$ $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$
if , a , pak jeden reálný kořen násobnosti 2 a dva komplexní kořeny; $q>0$ $s>0$ $r\neq 0$
if , a , pak jeden pár komplexně sdružených kořenů násobnosti 2; $q>0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$ $r=0$
if a , pak jeden reálný kořen násobnosti 2 a dva komplexní kořeny; $q>0$ $s=0$
if a , pak jeden reálný kořen násobnosti 2 a dva komplexní kořeny; $q=0$ $s>0$
jestliže a , pak jeden skutečný kořen násobnosti 4. $q=0$ $s=0$

Historie

Termín je odvozen z lat. discrimino - „rozebrat“, „rozlišovat“. Pojem „čtvercový diskriminant“ byl použit v dílech Gausse , Dedekinda , Kroneckera , Webera aj. Termín zavedl Sylvester [3] .

Viz také

Výsledný

Literatura

Prasolov VV polynomy. — M. : MTsNMO , 1999, 2001, 2003.

Poznámky

↑ Diskriminant polynomu // Matematická příručka.
↑ 1 2 Rees, EL Grafická diskuse o kořenech kvartické rovnice // The American Mathematical Monthly : journal. - 1922. - Sv. 29 , č. 2 . - str. 51-55 . - doi : 10.2307/2972804 .
↑ Matice a determinanty - Numericana . Získáno 9. května 2010. Archivováno z originálu 1. června 2010. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Britannica (online)