Rybina (povrch)

Vlaštovčí ocas je nepravidelný povrch ( vrstevnatý manifold ) v trojrozměrném prostoru, který lze definovat několika ekvivalentními způsoby.

Rybinovou plochu podrobně studoval Kronecker v roce 1878, nachází se také v pracích Cayleyho z téže doby, věnovaných vlastnostem šířících se vlnoploch a žíravin [1] . Rybina nachází četné aplikace v teorii katastrof a teorii bifurkace. Konkrétně se jedná o kritickou hodnotu povrchu (obraz množiny kritických bodů ) jednoho ze stabilních zárodků hladkých zobrazení . $f:\mathbb{R} ^{3}\to \mathbb{R} ^{3}$

Definice

Uvažujme polynom v proměnné , v závislosti na koeficientech (předpokládá se, že proměnná i koeficienty jsou reálné). Každá trojice koeficientů jednoznačně odpovídá polynomu a také bodu v prostoru s kartézskými souřadnicemi . Potom je "rybina" definována jako plocha v prostoru se souřadnicemi , jejíž body odpovídají polynomům s více kořeny . $P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c$ $X$ $a,b,c$ $a,b,c$ $P(x)$ $(a,b,c)$ $S$ $(a,b,c)$ $P(x)$

Plocha má singularitu v podobě vrcholu a čáry vlastního průniku, zatímco vrchol má tvar semikubické paraboly s výjimečností v podobě vrcholu . Plocha rozděluje prostor na tři oblasti odpovídající počtu skutečných kořenů polynomu . Konkrétně v oblasti, která má tvar křivočarého jehlanu, jehož okraje jsou čárou vlastního průniku a dvěma větvemi semikubické paraboly, má 4 skutečné kořeny; v oblasti sousedící s ní - dvě a ve zbývající oblasti - nula. $S$ $S$ $(a,b,c)$ $P(x)$ $P(x)$

Parametrická úloha

Pomocí této definice lze získat vzorec, který parametricky definuje rybinu. Konkrétně podmínka násobného kořene polynomu dává systém dvou rovnic: $P(x)$

$P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c=0,\ \ P'(x)=4x^{3}+2ax+b=0,$

proto je snadné vyjádřit proměnné pomocí : $b,c$ $a,x$

$\left\{{\begin{matrix}b=&-2(2x^{3}+ax)\\c=&3x^{4}+ax^{2}.\\\end{matrix} }\že jo.$

Zavedením nových souřadnic do prostoru koeficientů polynomu , uvažováním proměnných na pravé straně získaných rovnic jako parametrů: a doplněním výsledné soustavy dvou rovnic o triviální třetí rovnici , získáme parametrický zápis: $x_{1}=a,\ x_{2}=-b/2,\ x_{3}=c$ $a,x$ $u=a,\ v=x$ $x_{1}=u$

$\left\{{\begin{matrix}x_{1}(u,v)=&u\\x_{2}(u,v)=&2v^{3}+uv\\x_{3}(u,v )=&3v^{4}+uv^{2}.\\\end{matrix}}\vpravo.$

V umění

V roce 1983 namaloval španělský umělec Salvador Dali , inspirovaný dílem francouzského matematika Rene Thoma v oblasti teorie katastrof, obraz „ The Swallow's Tail “ ( angl. The Swallow's Tail ), což je jednoduchá kaligrafická kompozice. na světlém pozadí, v jejímž středu je v rovinném prostoru znázorněn povrchový řez , křivka s vlastním průsečíkem a dvěma polokubickými vrcholovými body. Na tomto obraze, který se stal posledním umělcovým dílem, je také vidět kubická parabola , stylizované integrální znaky a fragmenty hudebních nástrojů [2] [3] [4] [5] . $S$ $(a,b,c)$ $a=konst>0$

Viz také

Diskriminační

Literatura

Arnold V.I. Teorie katastrofy, - Libovolné vydání.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, — Libovolné vydání.
Brus J., Jiblin P. Křivky a singularity: Geometrický úvod do teorie singularit, - M.: Mir, 1988.
Arnold V. I. Vlastnosti žíravin a vlnových čel, - M.: Fazis, 1996.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovič, Yu. S. Iljašenko, L. P. Shilnikov. Teorie bifurkací.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Poznámky

↑ Bruce J., Jiblin P. Křivky a singularity: Geometrický úvod do teorie singularity. - strana 8.
↑ Otakárek - poslední dílo Salvadora Dalího Archivováno 11. ledna 2013 na Wayback Machine .
↑ Teorie katastrof 1979 - 1983 Archivováno 19. února 2017 na Wayback Machine .
↑ Vlaštovčí ocas . Získáno 28. února 2010. Archivováno z originálu 31. července 2010. (neurčitý)
↑ Dalí, Salvador, „Gala, Velásquez a zlaté rouno“ (9. května 1979). Částečně reprodukováno v Robert Descharnes, Dalí, práce, člověk (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Původně vyšlo ve francouzštině jako Dalí, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).