Diferenciální inkluze (matematika)

Diferenciální inkluze je zobecněním konceptu diferenciální rovnice :

{\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)

kde pravá strana (*) je vícehodnotové zobrazení , které spojuje každou dvojici proměnných s neprázdnou kompaktní množinou v prostoru Řešení diferenciální inkluze (*) se obvykle nazývá absolutně spojitá funkce , která splňuje danou inkluzi pro téměř všechny hodnoty.Taková definice řešení je spojena především s aplikacemi diferenciálních inkluzí v teorii řízení. $t\in \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t,x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

Původ teorie diferenciálních inkluzí je obvykle spojován se jmény francouzského matematika Marchauda a polského matematika Stanislawa Zaremby (práce z poloviny 30. let), široký zájem o ně však vznikl až po objevu principu Pontrjaginova maxima. as tím spojený intenzivní rozvoj teorie optimálního řízení. Diferenciální inkluze se také používají jako nástroj pro studium diferenciálních rovnic s nespojitou pravou stranou ( A.F. Filippov ) a v teorii diferenciálních her ( N.N. Krasovskii ).

Spojení diferenciálních inkluzí s řízenými systémy

Zvažte řízený systém

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)

kde je nějaká kompaktní podmnožina. Systém (**) lze zapsat jako diferenciální zahrnutí (*) nastavením . Za dosti obecných předpokladů je řízený systém (**) ekvivalentní diferenciální inkluzi (*), tzn. pro jakékoli řešení inkluze (*) existuje taková přípustná kontrola , že funkcí bude trajektorie systému (**) s touto kontrolou. Toto tvrzení se nazývá lemma A.F. Filippová. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \forall u\in U\))$ $x(t)$ $u(t)\in U,$ $x(t)$

Související pojmy

Kontingence ( kontingenční derivát ) a partingence jsou zobecnění konceptu derivátu zavedeného ve 30. letech 20. století.

Kontingence vektorové funkce v bodě je množinou všech limitních bodů posloupností $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad i=1,2,\ldots

Paratingence vektorové funkce v bodě je množinou všech limitních bodů sekvencí $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

Nahodilost a partingence jsou příklady vícehodnotových mapování . Například pro funkci v bodě se množina skládá ze dvou bodů: a množina je segment $x(t)=|t|$ $t_{0}=0$ ${\textrm {Cont}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ $[-1,+1].$

Obecně vždy . Pokud existuje obyčejná derivace, pak a pokud obyčejná derivace existuje v nějakém okolí bodu a je v tomto bodě sama spojitá, pak . ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ $x'(t_{0}),$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ $x'(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Literatura

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Úvod do teorie vícehodnotových zobrazení a diferenciálních inkluzí, — Libovolné vydání.
Blagodatskikh V. I. Introduction to Optimal Control, Higher School, Moskva, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Diferenciální inkluze a optimální řízení , — Tr. MIAN, díl 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teorie extrémních problémů, Fizmatlit, Moskva, 1974.
A. F. Filippov . K některým otázkám optimálního ovládání. - Bulletin Moskevské státní univerzity, Matem. and mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Diferenciální rovnice s nespojitou pravou stranou. — M .: Nauka, 1985.
A. cellina . POHLED NA DIFERENCIÁLNÍ INKLUSE , -Rend . Sem. Rohož. Univ. Pavel Turín - sv. 63, 3 (2005).