Displej s více hodnotami

Vícehodnotové mapování je druh matematického konceptu mapování ( funkce ). Nechat a být libovolné množiny a být sbírkou všech podmnožin množiny . Vícehodnotové mapování z množiny na je libovolné mapování. Obvykle je doménou vícehodnotového mapování podmnožina a doménou hodnot je prostor sestávající z neprázdných kompaktních podmnožin množiny , tzn. $X$ $Y$ $2^{Y}$ $Y.$ $X$ $Y$ $F:\ X\to 2^{Y}.$ $F$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega (Y)\subset 2^{Y},$ $Y\subset \mathbb {R} ^{m},$ $F:X\to \Omega (Y).$

Příklad 1. Nechť . Přiřazením segmentu každé hodnotě získáme mapování s více hodnotami $X=Y=\mathbb {R}$ $x\in X$ $[-|x|,\,|x|],$ $F:\mathbb {R} \to \Omega (\mathbb {R} ).$

Příklad 2. Nechť je spojitá funkce. Vložením a přiřazením ke každé hodnotě množiny získáme vícehodnotové mapování $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ $X=[\min f,+\infty ]$ $Y=[0,1].$ $x\in X$ $M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},$ $F:X\to \Omega (Y).$

Příklad 3. Nahodilost a rodičovství .

Vícehodnotová zobrazení nacházejí uplatnění v různých oblastech matematiky: nehladká a konvexní analýza, teorie diferenciálních rovnic, teorie řízení , teorie her a matematická ekonomie .

Související definice a vlastnosti

Prostor je metrický s Hausdorffovou metrikou . To nám umožňuje zavést pojem spojitého mapování množinových hodnot. $\Omega (\mathbb {R} ^{m})$
Uvážíme-li pro každou podpůrnou funkci množiny, získáme reálnou funkci dvou argumentů: a , kde hvězdička znamená duální prostor . $x \in \mathbb{R}^n$ $F(x)\in \Omega (\mathbb {R} ^{m}),$ $c(F(x),\psi )$ $x \in \mathbb{R}^n$ $\psi \in (\mathbb {R} ^{n})^{*}$
Mapování s hodnotou množiny je spojité právě tehdy, když je jeho podpůrná funkce proměnně spojitá pro každou pevnou . $F$ $c(F(x),\psi )$ $X$ $\psi$
O vícehodnotovém mapování se říká , že je měřitelné , pokud je jeho podpůrná funkce měřitelná s ohledem na proměnnou pro každou pevnou . $c(F(x),\psi )$ $X$ $\psi$
Jednoznačný selektor větvení nebo vícehodnotového mapování je funkce taková , že pro libovolné $F:\mathbb {R} ^{n}\to \Omega (\mathbb {R} ^{m})$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ $f(x)\in F(x)$ $x\in \mathbb {R} ^{n}.$
Filippovovo lemma : Každé měřitelné mapování s množinou má měřitelný selektor. Filippovovo lemma má četné aplikace. Zejména umožňuje stanovit existenci optimálního řízení pro širokou třídu problémů v teorii řízených systémů .
Zobrazení s hodnotou množiny se nazývá horní semikontinuální (začleněním) v bodě , pokud pro jakékoli okolí množiny (označené ) existuje takové okolí bodu (označme ho ), že pro jakékoli zobrazení s hodnotou množiny je nazývá se horní semikontinuální (začleněním), pokud je v každém bodě horní semikontinuální. Spojité vícehodnotové zobrazení (definované Hausdorffovou metrikou) je horní semikontinuální. $F:X\to \Omega (Y)$ $x_{0}\v X$ $F(x_{0})\in \Omega (Y)$ $V(F(x_{0}))$ $x_{0}\v X$ $U(x_{0})$ $F(x)\subset V(F(x_{0}))$ $x\in U(x_{0}).$ $F:X\to \Omega (Y)$ $x\in X.$
Kakutaniho teorém : Nechť je neprázdná, kompaktní, konvexní podmnožina a mapování s hodnotou množiny, které má jako své hodnoty kompaktní, konvexní množiny a je horní semispojité díky inkluzi. Pak mámapování pevný bod , tj.Kakutaniho teorém má četné aplikace v teorii her . Zejména lze snadno dokázat základní výsledek teorie her, Nashův teorém o existenci rovnováhy v nekooperativní hře. $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $F:X\to \Omega (X)$ $F$ $x_{*}\in X,$ $x_{*}\in F(x_{*}).$

Viz také

Literatura

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D., Obukhovskiy V. V. Úvod do teorie vícehodnotových zobrazení a diferenciálních inkluzí, — Libovolné vydání.
Blagodatskikh V. I. Introduction to Optimal Control, Higher School, Moskva, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Diferenciální inkluze a optimální řízení , — Tr. MIAN, díl 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teorie extrémních problémů, Fizmatlit, Moskva, 1974.
Pshenichny B. N. Konvexní analýza a extrémní problémy, Nauka, Moskva, 1980.
Vorobjov N. N. Základy teorie her. Nekooperativní hry, Nauka, Moskva, 1984.