Nashova rovnováha

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. září 2020; kontroly vyžadují 11 úprav .

Nashova rovnováha
Pojem rozhodování v teorii her
Související rozhodovací sady
Supersety	Racionalizovatelnost Korelovaná rovnováha ε-rovnováha
Podmnožiny	Dokonalá rovnováha podhrou Rovnováha potřásání rukou Evolučně stabilní strategie Silná rovnováha
Data
Autorství	John Nash
aplikace	Všechny nekooperativní hry

Nashova rovnováha je koncept rozhodnutí , jeden z klíčových konceptů teorie her . Toto je název sady strategií ve hře pro dva a více hráčů, ve které žádný účastník nemůže zvýšit výplatu změnou své strategie, pokud ostatní účastníci své strategie nezmění [1] . John Nash dokázal existenci takové rovnováhy ve smíšených strategiích v jakékoli konečné hře.

Historie

Tento koncept poprvé použil Antoine Auguste Cournot . Ukázal, jak najít to, čemu říkáme Nashova rovnováha ve hře Cournot . Nash byl první, kdo dokázal, že taková rovnováha musí existovat pro všechny konečné hry s libovolným počtem hráčů. To bylo provedeno ve své dizertační práci o nekooperativních hrách v roce 1950.

Před Nashem to bylo prokázáno pouze u her pro 2 hráče s nulovým součtem od Johna von Neumanna a Oskara Morgensterna (1947).

Matematická formulace

Předpokládejme, že se jedná o nekooperativní hru pro n hráče v normální formě, kde S je soubor čistých strategií a H je soubor přínosů. Když si každý hráč zvolí strategii v profilu strategie, vyhrává hráč i . Upozorňujeme, že výplata závisí na celém profilu strategie: nejen na strategii zvolené hráčem i , ale také na dalších strategiích , tedy na všech strategiích pro . Profil strategie je Nashovou rovnováhou, pokud změna strategie z na není zisková pro žádného hráče , tedy pro žádného hráče. $(S,H)$ $i\in\{1,...,n\}$ $x_{i}\in S$ $x=(x_{1},...,x_{n}),$ $H_{i}(x).$ $x_{i}$ ${\displaystyle x_{-i))$ $x_{j}$ $j\neq i$ $x^{*}\in S$ $x_{i}^{*}$ $x_{i}$ $i$ $i$

H_{i}(x^{*})\geqslant H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).

Hra může mít Nashovu rovnováhu v čistých strategiích nebo ve smíšených strategiích (to znamená stochastickou volbu čisté strategie s pevnou frekvencí). Nash dokázal, že pokud jsou povoleny smíšené strategie , pak bude v každé hře n hráčů alespoň jedna Nashova rovnováha.

Příklady použití konceptu

Sociologie

V sociologické teorii racionální volby se zvlášť zdůrazňuje, že stabilní stav společnosti (sociální rovnováha) se může lišit od optimálního (sociálního optima). Takové suboptimální, ale stabilní stavy se v sociologii nazývají Nashova rovnováha.

		herec B
		jeden	2
Herec A	jeden	A: +1, B: +1	A: -1, B: +2
Herec A	2	A: +2, B: -1	A: 0, B: 0

Tabulka vlevo ukazuje strukturu akce z hlediska teorie her , sestavenou pro dva aktéry ( herce ). Každý hráč má dvě možnosti akce, označené čísly 1 a 2. Koeficienty odměny, které obdrží při výběru určitých možností akce, jsou uvedeny v odpovídajících buňkách tabulky. Předpokládejme, že oba aktéři právě používají akci 2 a jejich odměny jsou nulové. Volbou akce 1 si aktér A zhorší svou vlastní situaci o jednu pozici (A: −1, B: +2). Podobně, pokud si aktér B zvolí možnost 1 sám, zatímco aktér A bude nadále používat možnost 2, svou situaci jen zhorší (A: +2, B: -1). Přestože tedy oba aktéři chápou, že situace by pro ně byla optimální, kdyby oba využili akci 1 (odměna - A: +1, B: +1), ani jeden z nich nemá motiv situaci změnit, a rovnováha vyplývá z absence takových motivů. Pokud je systém již v optimálním stavu (když si oba aktéři zvolili akci 1), pak budou oba vždy v pokušení začít používat akci 2, která jim přinese odměnu na úkor druhého hráče. Tento příklad ilustruje možnost dvou sociálních stavů: stabilní, ale neoptimální (oba aktéři využívají možnost 2); stejně jako druhé optimální, ale nestabilní (oba aktéři využívají možnost 1). [2]

Politologie

K vysvětlení různých jevů v politické teorii se často používá koncept jádra , což je slabší verze Nashovy rovnováhy. Jádro je soubor států, v každém z nich žádná skupina aktérů schopná vybudovat nový (v daném jádru nepřítomný) stát nezlepší svou situaci oproti svému stavu v daném jádru. [2]

Ekonomie

V oboru působí dvě firmy č. 1 a č. 2. Každá z firem může nastavit dvě cenové úrovně: „vysokou“ a „nízkou“. Pokud obě firmy zvolí vysoké ceny, pak každá dosáhne zisku 3 miliony. Pokud obě zvolí nízké ceny, pak každá obdrží 2 miliony. Pokud však jedna zvolí vysoké a druhá nízké, pak druhá obdrží 4 miliony a první jen 1 milion Nejvýhodnější variantou v součtu je současný výběr vysokých cen (součet = 6 milionů). Tento stav (v nepřítomnosti kartelu ) je však nestabilní kvůli příležitosti k relativnímu zisku, která se otevírá pro firmu, která se od této strategie odchýlí. Obě společnosti proto s největší pravděpodobností zvolí nízké ceny. Tato možnost sice nedává maximální celkový zisk (součet = 4 miliony), ale vylučuje relativní zisk konkurenta, který by mohl získat odchýlením se od vzájemně optimální strategie. Tato situace se nazývá „Nashova rovnováha“ [3] .

Ve Stackelbergově oligopolním modelu lze pro dvě firmy účastnící se nekooperativní hry předpokládat, že existují dvě strategie: 1. Cournotův duopolista (K) a Stackelbergský duopolista (S), tedy S-strateg. Pro dva hráče jsou tedy možné následující strategie:

(K1;K2) (K1;S2);(K2;S1);(S1;S2). Jak vyplývá z konstrukce modelu zisku při volbě strategie S: , a při volbě strategie K: , je zřejmé, že maximální výplata prvního hráče je realizována v situaci (S1;K2), a druhého ( Kl;S2). Vzhledem k tomu, že tyto situace jsou neslučitelné, to znamená, že je nelze realizovat současně, nemohou oba hráči získat maximální výplatu ve stejnou dobu. V tomto případě bude optimálním chováním obou hráčů volba strategie S, jelikož strategie S je v tomto případě lepší než strategie K z hlediska minimální možné výplaty. V tomto případě je volbou (S1;S2) Nashova rovnováha. Jednostranná odchylka od této strategie automaticky snižuje výplatu kteréhokoli z hráčů, přičemž celková výplata v tomto typu rovnováhy je menší než celková výplata při volbě strategie (K1;K2) oběma hráči. Za podmínek tohoto modelu však při absenci výměny informací mezi hráči nebude realizována odchylka od Nashovy rovnováhy kvůli zvýšenému riziku, že druhý hráč může využít situace a nezvolit strategii K. $\pi ^{1}={\frac {(ac)^{2}}{8b}}$ $\pi ^{2}={\frac {(ac)^{2}}{16b}}$

Válčení

Koncept vzájemného zaručeného zničení . Žádná ze stran vlastnících jaderné zbraně nemůže beztrestně zahájit konflikt ani se jednostranně odzbrojit.

Viz také

Poznámky

↑ Univertv - Nash Equilibrium: Nakupování, pověst, hlasování Archivováno 13. prosince 2009 na Wayback Machine .
↑ 1 2 James S. Coleman . Ekonomická sociologie z pohledu teorie racionální volby // Ekonomická sociologie: elektronický časopis. - 2004. - V. 5 , č. 3 . - S. 35-44 . (Ruština)
↑ „Nashova Nobelova cena“ Archivováno 26. května 2015 na Wayback Machine , The Economist, 24. května 2015.

Literatura

Vasin A. A. , Morozov V. V. Teorie her a modely matematické ekonomie. - M.: MGU, 2005, 272 s. ISBN 5-317-01388-7 .
Vorobyov N. N. Teorie her pro kybernetické ekonomy. — M.: Nauka, 1985
Mazalov VV Matematická teorie her a aplikací. - Nakladatelství Lan, 2010, 446 s.
Petrosyan L. A. , Zenkevich N. A., Shevkoplyas E. V. Teoriya igr. - Petrohrad: BHV-Petersburg, 2012, 432 s.

Herní teorie
Základní pojmy	Vzájemná a společná znalost Hráč Hierarchie vír Iracionální zesílení strategie ( dominance ) Reverzní indukce
Typy her	Simultánní , sekvenční a opakující se Nekooperativní a kooperativní S úplnými , neúplnými , dokonalými a nedokonalými informacemi V normální i rozšířené podobě Antagonistický Rozdíl Stochastické Bitva pohlaví Lov na jelena
Koncepce řešení	Riziková dominance Korelovaná rovnováha Rovnováha třesoucí se ruky Nashova rovnováha Dokonalá rovnováha podhry Racionalizovatelnost Sekvenční rovnováha silná rovnováha Vlastní bilance Evolučně stabilní strategie Epsilon-rovnováha Paretova účinnost Jádro
Příklady her	Vězňovo dilema Úkol baru "El Farol" Model Bertrand Cournotův model Stackelbergův model Orlyanka Tragédie sdílených zdrojů jestřábi a holubice
Epistemická teorie her Konstrukce mechanismu Spravedlivé rozdělení