Bianchiho rozdílná identita

Riemannův tenzor splňuje následující identitu:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

který se nazývá diferenciální Bianchi identita (nebo druhá Bianchi identita ) v diferenciální geometrii .

Důkaz pomocí speciálního souřadnicového systému

Vybereme nějaký jeden libovolný bod na varietě a v tomto bodě dokážeme rovnost (1). Protože bod je libovolný, bude odtud vyplývat platnost identity (1) na celé varietě. $P$ $P$

V bodě můžeme zvolit speciální souřadnicový systém, takže všechny Christoffelovy symboly (ale ne jejich odvozeniny) v tomto bodě zmizí. Pak pro kovariantní deriváty v bodě , který máme $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\částečné _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Protože

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\částečné _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\částečné _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

pak v bodě , který máme $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\částečné _{i}\částečné _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\částečné _{i}\částečné _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

Cyklickým přeskupením indexů v (4) získáme další dvě rovnosti: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\částečné _{j}\částečné _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\částečné _{j}\částečné _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\částečné _{k}\částečné _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\částečné _{k}\částečné _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

Je snadné vidět, že při sečtení rovností (4), (5) a (6) na levé straně rovnice dostaneme levou stranu výrazu (1) a na pravou stranu, vezmeme-li v úvahu komutativnost parciálních derivací , všechny členy se navzájem ruší a dostaneme nulu.

Viz také

Algebraická Bianchiho identita