Diferenciace komplexních funkcí

Řetězové pravidlo ( pravidlo derivace komplexní funkce ) umožňuje vypočítat derivaci složení dvou nebo více funkcí na základě jednotlivých derivací. Jestliže funkce má derivaci v , a funkce má derivaci v , pak má komplexní funkce také derivaci v . $F$ $x_{0}$ $G$ $y_{0}=f(x_{0})$ $h(x)=g(f(x))$ $x_{0}$

Jednorozměrný případ

Nechť jsou dány funkce definované v okolích na reálné čáře, kde a Nechť i tyto funkce jsou diferencovatelné: Pak je diferencovatelné i jejich složení: a jeho derivace má tvar: $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}} (x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}} (y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Poznámka

V Leibnizově notaci má řetězové pravidlo pro výpočet derivace funkce kde následující podobu: $y=y(x),$ $x=x(t),$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Invariance tvaru prvního diferenciálu

Diferenciál funkce v bodě má tvar: $z=g(y)$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

kde je diferenciál identického zobrazení : $dy$ $y\to y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Nechte nyní Pak a podle pravidla řetězu: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Tvar prvního diferenciálu tedy zůstává stejný bez ohledu na to, zda je proměnná funkcí nebo ne.

Příklad

Nechť Potom lze funkci zapsat jako složení kde $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ $h\;$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Samostatné rozlišení těchto funkcí:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

dostaneme

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Vícerozměrné pouzdro

Nechť jsou dány funkce kde a . Nechť jsou i tyto funkce diferencovatelné: a Pak je diferencovatelné i jejich složení a jeho diferenciál má tvar $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

Zejména Jacobiho matice funkce je součinem Jacobiho matic funkcí a $h$ $G$ $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m))))))={\frac {\ částečný (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\částečný (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\cdot {\frac {\částečný (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\částečné (x_{1},\ldots ,x_{m))))).

Důsledky

Jakobián složení dvou funkcí je součinem jakobiánů jednotlivých funkcí: $\left\vert {\frac {\částečné (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\částečné (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\vpravo \ vert =\left\vert {\frac {\částečné (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\částečné (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\vpravo \vert \cdot \left\vert {\frac {\částečné (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\částečné (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\ vpravo\vert .$

Pro parciální derivace komplexní funkce,

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j))}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_ {0})}{\částečné y_{i))}{\frac {\částečné f(x_{0})}{\částečné x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Příklad

Nechť je dána funkce tří proměnných a je potřeba najít její parciální derivaci vzhledem k proměnné . Funkci lze zapsat jako kde $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $X$ $h\;$ $h(x,y,z)=f(u,v,w),$