Egyptské zlomky

Egyptský zlomek - v matematice součet několika párově různých zlomků tvaru (tzv. alikvotní zlomky ). Jinými slovy, každý zlomek součtu má čitatele , který se rovná jedné, a jmenovatele , který je přirozeným číslem . ${\frac {1}{n}}$

Příklad: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

Egyptský zlomek je kladné racionální číslo tvaru a / b ; například egyptský zlomek napsaný výše by mohl být zapsán jako 43/48. Lze ukázat, že každé kladné racionální číslo lze reprezentovat jako egyptský zlomek (obecně nekonečným počtem způsobů [1] ). Tento typ součtu používali matematici k zápisu libovolných zlomků od doby starověkého Egypta až po středověk . V moderní matematice se místo egyptských zlomků používají jednoduché a desetinné zlomky , nicméně egyptské zlomky se nadále studují v teorii čísel a historii matematiky .

Historie

Starověký Egypt

Pro více informací na toto téma viz Egyptské číslice , Matematika ve starověkém Egyptě .

Egyptské zlomky byly vynalezeny a poprvé použity ve starověkém Egyptě . Jeden z prvních známých odkazů na egyptské zlomky je Rhindův matematický papyrus . Tři starší texty, které zmiňují egyptské zlomky, jsou Egyptský matematický kožený svitek , Moskevský matematický papyrus a Akhmimská dřevěná tabulka. Papyrus Rinda byl napsán písařem Ahmesem během éry druhého přechodného období ; obsahuje tabulku egyptských zlomků pro racionální čísla tvaru 2/ n , dále 84 matematických úloh, jejich řešení a odpovědi zapsané v egyptských zlomcích.

Egypťané používali hieroglyf

( ep , "[jeden] z" nebo re , rot) přes číslo reprezentující jednotkový zlomek v konvenčním zápisu, zatímco čára se používala v hieratických textech. Například:

={\frac {1}{3}}

={\frac {1}{10}}

Měli také speciální symboly pro zlomky 1/2, 2/3 a 3/4 (poslední dvě číslice byly jedinými nealikvotními zlomky, které Egypťané používali), které mohly být také použity k zápisu jiných zlomků (větších než 1). /2).

={\frac {1}{2}}

={\frac {2}{3))

={\frac {3}{4))

Egypťané také používali jiné formy zápisu, založené na hieroglyfu Hórovo oko , k reprezentaci zvláštní sady zlomků ve tvaru 1/2 k (pro k = 1, 2, ..., 6), tedy dvou -prvková racionální čísla . Tyto frakce byly použity spolu s dalšími formami egyptských frakcí k rozdělení heqatu ( ~4,785 litrů ), hlavního měřítka objemu ve starověkém Egyptě. Tento kombinovaný zápis byl také použit k měření objemu obilí , chleba a piva . Pokud po zaznamenání množství ve formě zlomku Hórova oka zůstal nějaký zbytek, byl zaznamenán v obvyklé formě jako násobek rho , měrná jednotka rovna 1/320 hekat.

Například takto:

={\frac {1}{331}}

Současně byla „ústa“ umístěna před všechny hieroglyfy.

Starověk a středověk

Egyptské zlomky byly nadále používány ve starověkém Řecku a následně matematiky po celém světě až do středověku , a to i přes poznámky starověkých matematiků o nich (například Claudius Ptolemaios mluvil o nepohodlnosti používání egyptských zlomků ve srovnání s babylonským systémem ). Důležitou práci na studiu egyptských zlomků provedl matematik Fibonacci ze 13. století ve svém díle „ Liber Abaci “.

Hlavním tématem Liber Abaci jsou výpočty pomocí desetinných a běžných zlomků, které nakonec vytlačily egyptské zlomky. Fibonacci používal pro zlomky komplexní zápis, včetně zápisu čísel se smíšeným základem a zápis jako součty zlomků, často se používaly egyptské zlomky. V knize byly také uvedeny algoritmy pro převod z obyčejných zlomků na egyptské.

Fibonacciho algoritmus

První obecný způsob rozkladu libovolného zlomku na egyptské složky, který se k nám dostal, popsal Fibonacci ve 13. století. V moderní notaci lze její algoritmus uvést následovně.

1. Zlomek se rozloží na dva členy: ${\frac {m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Zde je podíl dělení n m , zaokrouhlený nahoru na nejbližší celé číslo, a je (kladný) zbytek dělení − n m . $\lceil n/m\rceil$ $(-n){\bmod {m))$

2. První člen na pravé straně má již tvar egyptského zlomku. Ze vzorce je vidět, že čitatel druhého členu je přísně menší než původní zlomek. Podobně pomocí stejného vzorce rozšíříme druhý člen a pokračujeme v tomto procesu, dokud nedostaneme člen s čitatelem 1.

Fibonacciho metoda vždy konverguje po konečném počtu kroků a dává požadovanou expanzi. Příklad:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}.

Rozklad získaný touto metodou však nemusí být nejkratší. Příklad jeho neúspěšné aplikace:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

zatímco pokročilejší algoritmy vedou k rozkladu

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Moderní teorie čísel

Moderní matematici pokračují ve zkoumání řady problémů souvisejících s egyptskými zlomky.

Na konci 20. století byly uváděny odhady maximálního jmenovatele a délky expanze libovolného zlomku na egyptské. Zlomek x / y má expanzi do egyptských zlomků s maximálním jmenovatelem nejvýše

O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) a ne více než

O\left({\sqrt {\log y}}\right)

( Vose 1985 ).

Erdős-Grahamova domněnka uvádí, že pro jakékoli obarvení celých čísel větších než 1 v r > 0 barev existuje konečná monochromatická podmnožina S celých čísel, pro která $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Tuto domněnku dokázal Ernest Krut v roce 2003 .

Otevřené problémy

Egyptské zlomky představují řadu obtížných a dodnes nevyřešených matematických problémů.

Erdős-Straussova domněnka říká, že pro jakékoli celé číslo n ≥ 2 existují kladná celá čísla x , yaz taková , že

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Počítačové experimenty ukazují, že domněnka platí pro všechna n ≤ 10 14 , ale zatím nebyl nalezen žádný důkaz. Zobecnění této domněnky říká, že pro každé kladné k existuje N tak, že pro všechna n ≥ N existuje rozklad

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Tato hypotéza patří Andrzeji Schinzelovi .

Poznámky

↑ R. Knott . Egyptské zlomky archivovány 2. května 2016 na Wayback Machine .

Literatura

Van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. Překlad z holandštiny N. Veselovského. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s. (Dotisk: M.: URSS, 2007)
Neugebauer O. Přednášky o dějinách starověkých matematických věd (předřecká matematika). T. 1. M.-L.: ONTI, 1937.
Neugebauer O. Exaktní vědy ve starověku. M.: Nauka, 1968. (Dotisk: M.: URSS, 2003)
Raik A.E. Eseje o historii matematiky ve starověku. Saransk, mordovský stát. nakladatelství, 1977.
Raik A.E. O historii egyptských zlomků. Historický a matematický výzkum, 23, 1978, s. 181-191.
Yanovskaya S. A. O teorii egyptských zlomků. Sborník Ústavu dějin přírodních věd, 1, 1947, s. 269-282.
Beeckmans, L. Dělicí algoritmus pro egyptské zlomky (neurčité) // Journal of Number Theory . - 1993. - T. 43 . - S. 173-185 .
Botts, Trumane. Proces řetězové reakce v teorii čísel (neopr.) // Mathematics Magazine . - 1967. - S. 55-65 .
Breusch, R. Speciální případ egyptských zlomků, řešení pokročilého problému 4512 // American Mathematical Monthly : journal . - 1954. - Sv. 61 . - S. 200-201 .
Bruins, Evert M. Platon et la tablégyptienne 2/n (neurčité) // Janus. - 1957. - T. 46 . - S. 253-263 .
Eves, Howarde. Úvod do dějin matematiky, (anglicky) . — Holt, Reinhard a Winston, 1953.
Gillings, Richard J. Matematika v době faraonů (neopr.) . — Dover, 1982.
Graham, RL O konečných součtech převrácených hodnot různých n -tých mocnin // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1964. - Sv. 14 , č. 1 . - S. 85-92 . Archivováno z originálu 22. listopadu 2009. Archivováno 22. listopadu 2009 na Wayback Machine
Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung (německy) . — Lipsko: S. Hirzel, 1895.
Knorr, Wilbur R. Techniky zlomků ve starověkém Egyptě a Řecku (anglicky) // Historia Mathematica : deník. - 1982. - Sv. 9 . - S. 133-171 .
Luneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers (německy) . — Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag, 1993.
Martin, G. Husté egyptské zlomky (anglicky) // Transactions of the American Mathematical Society . - 1999. - Sv. 351 . - S. 3641-3657 .
Menninger, Karl W. Číselná slova a číselné symboly: Kulturní historie čísel . — MIT Press , 1969.
Robins, Gay; Zavři, Charlesi. The Rhind Mathematical Papyrus: An starověký egyptský text (anglicky) . — Dover, 1990.
Stewart, BM Součty různých dělitelů (neurčité) // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 . - S. 779-785 .
Stewart, I. Hádanka mizejícího velblouda // Scientific American . - Springer Nature , 1992. - No. června . - S. 122-124 .
Struik, Dirk J. Stručné dějiny matematiky (neurčité) . - Dover, 1967. - S. 20-25 .
Takenouchi, T. O neurčité rovnici (neopr.) // Proc. Fyzikálně-matematická soc. of Japan, 3. ser.. - 1921. - Vol . - S. 78-92 .
Tenenbaum, G.; Yokota, H. Délka a jmenovatelé egyptských zlomků (neurčité) // Journal of Number Theory . - 1990. - T. 35 . - S. 150-156 .
Vose, M. Egyptské zlomky (neurčité) // London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 . - S. 21 .
Wagon, S. Mathematica v akci (neopr.) . — W. H. Freeman, 1991. - S. 271-277 .

Odkazy

David Eppstein. Egyptské zlomky . Archivováno z originálu 19. února 2012. (neurčitý)
Egyptské zlomky . Archivováno z originálu 19. února 2012. (neurčitý)
Matematika v egyptských papyrusech (2000). Archivováno z originálu 19. února 2012. (neurčitý)
Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Brown, Kevine. Tabulka RMP 2/nth (nedostupný odkaz) . Získáno 24. prosince 2006. Archivováno z originálu 16. října 2006. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština