Pevný systém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. září 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Rigidní systém obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) je (volně řečeno) takový systém ODR, jehož numerické řešení explicitními metodami (například metoda Runge-Kutta nebo Adams ) je nevyhovující kvůli prudkému nárůstu počet výpočtů (s malým integračním krokem) nebo proto, že pro prudký nárůst chyby (tzv. exploze chyby) s nedostatečně malým krokem. Tuhé systémy se vyznačují tím, že pro ně dávají nejlepší výsledky implicitní metody , obvykle nesrovnatelně lepší než metody explicitní [1] .

Formální definice

Zvažte Cauchyho problém pro autonomní systém ODR formuláře

{\begin{cases}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\in \Omega ,\end{cases}}

(jeden)

kde je neznámá vektorová funkce , je daná vektorová funkce, je nezávislá proměnná, je počáteční podmínka . ${\mathbf {y}} (x)$ ${\mathbf {F}} ({\mathbf {y}})$ $X$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

Systém (1) se nazývá rigidní , pokud pro jakékoli počáteční hodnoty na daném segmentu patřící do intervalu existence řešení (1) jsou splněny následující podmínky: ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {end}}}]$

maximální modul vlastních hodnot Jacobiho matice ( spektrální poloměr ) je ohraničen podél řešení : $\rho$ ${\mathbf {y}} (x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial {\mathbf {y))(x)}{\částečné x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial {\ mathbf {y}}(x)}{\částečné x}}\vpravo\|=\vlevo\|\vlevo.{\frac {\částečné K(x+\xi ,\;x)}{\částečné \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

existují čísla , , , která splňují následující podmínky: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $N$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {end}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {end}}};

platí následující nerovnost:

\left\|{\frac {\částečné ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\částečné \xi ^{\nu ))}\pravé\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\right)^{\nu }.

Tady

K(x+\xi,\;x)=X(x+\xi)X^{{-1}}(x);

X(x)

je základní matice rovnice ve variantách pro systém (1) ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\součet _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

je maticová norma .

m

\xi _{{\mathrm {b}}}

je tzv. délka (parametr) mezní vrstvy.

Tuhé diferenciální systémy ODR také zahrnují systémy, pro které jsou tyto podmínky splněny po změně měřítka složek vektoru v každém řešení. ${\mathrm {y}} (x)$

Protože jakýkoli neautonomní systém ODR může být redukován na autonomní zavedením další pomocné funkce, pak se neautonomní systém ODR nazývá rigidní , pokud je systém autonomního řádu, který je s ním ekvivalentní, rigidní . $m$ $m+1$

Poznámky

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integrace tuhých rovnic Archivováno 24. září 2015 na Wayback Machine // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - sv. 38(3). - str. 235-243.

Literatura

Hairer E., Wanner G. Řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Rigidní a diferenciálně-algebraické problémy / Per. z angličtiny. — M .: Mir, 1999. — 685 s. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integrace tuhých rovnic // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - sv. 38(3). - str. 235-243.

Pevný systém

Formální definice

Poznámky

Literatura

Odkazy