Bernsteinův problém

Bernsteinův problém je problém o grafu funkce, která je minimální plochou. Pojmenováno po Sergeji Natanoviči Bernshteinovi , který v roce 1914 vyřešil 2-rozměrný případ tohoto problému.

Ukázalo se, že Bernsteinův problém úzce souvisí s otázkou existence nehladkých minimálních hyperpovrchů v odpovídající dimenzi.

Formulace

Za jakých podmínek musí být graf funkce definované na všechno , což je minimální plocha v , plochý? $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^{n+1}$

Odpověď: Toto platí pro a neplatí pro . Odpovídající příklad funkce lze nalézt mezi funkcemi formuláře $n\leqslant 7$ $n\geqslant 8$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u, proti)

kde

u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2))},\quad { \text{u}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}} }.

Poznámky

Ukázalo se, že Bernsteinův problém přímo souvisí s otázkou existence nerovinného kužele minimalizujícího plochu. Konkrétním příkladem takové hyperplochy je povrch $\mathbb {R} ^{n}$

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^ {2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

Historie

V roce 1914 Bernstein dokázal, že tvrzení o problému platí pro . [1] ( Ve stejném článku byla prokázána Bernsteinova věta o sedlovém grafu .) $n=2$
V roce 1962 dal Fleming další důkaz Bernsteinovy věty, odvozující ji ze skutečnosti, že v . [2] $\mathbb {R} ^{3}$
V roce 1965 de Giorgi ukázal, že pokud neexistují žádné nerovinné kužely minimalizující plochu, pak analogie Bernsteinovy věty platí pro . Z toho vyplývá zejména případ . [3] $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $n=3$
V roce 1966 Almgren dokázal, že v , neexistují žádné nerovinné kužely minimalizující plochu , a tak zobecnil Bernsteinovu větu na . $\R^4$ $n=4$
V roce 1968 Simons ukázal nepřítomnost ploch minimalizujících nerovinných kuželů v a tak zobecnil Bernsteinův teorém na . [čtyři] $\mathbb{R} ^{7}$ $n\leqslant 7$
- Uvedl také příklady místně stabilních kuželů v , ale nemohl dokázat, že minimalizují plochu. $\mathbb {R} ^{8}$
V roce 1969 Bombieri , de Giorgi a Giusti dokázali, že Simonsovy kužely se skutečně minimalizují a že na vrcholu jsou grafy, které jsou minimální, ale ne ploché. [5] $\R^{n+1}$ $n\geqslant 8$
- V kombinaci se Simonsovým výsledkem to zcela řeší Bernsteinův problém.

Poznámky

↑ Bernstein, SN (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. soc. Matematika. Charkov Vol 15: 38–45 Německý překlad v Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — V. 26: 551–558, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01475472 Ruský překlad v Uspekhi matematicheskikh nauk, sv. VIII (1941), 75-81 a v S. N. Bernshtein, Sebraná díla. T. 3. (1960) str. 251-258.
↑ Fleming, Wendell H. (1962), K problému orientované plošiny , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II Vol. 11: 69–90, ISSN 0009-725X , DOI 10.1007/BF02849427
↑ De Giorgi, Ennio (1965), Una estensione del teorema di Bernstein , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Vol. 19: 79–85 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 > Archivováno 16. června 2015 ve Wayback Machine
↑ Simons, James (1968), Minimální variety v riemannovských varietách, Annals of Mathematics. Druhá řada , svazek 88: 62–105, ISSN 0003-486X
↑ Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio & Giusti, E. (1969), Minimální kužely a Bernsteinův problém , Inventiones Mathematicae T. 7: 243–268, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01404309