Potenotův problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. ledna 2020; kontroly vyžadují 8 úprav .

Potenotův problém ( reverzní geodetická resekce ) je jedním z klasických matematických problémů určení polohy bodu na zemi pomocí tří orientačních bodů se známými souřadnicemi; dochází např. při určování polohy lodi na moři pomocí tří majáků, jejichž vzdálenost není známa. Má více než 100 analytických a grafických řešení a je speciálním případem a zobecněním problémů trilaterace a triangulace . Získal velký praktický význam v různých oborech ( geodézie , navigace , seřizování raketové a dělostřelecké palby [1] ) a neztratil svůj význam pro současnost.

Vyjádření Potenotova problému

Najděte bod v rovině, ze kterého jsou pod danými úhly viditelné strany daného (plochého) trojúhelníku.

Poznámka . Pokud jsou všechny tyto úhly stejné a rovny 120 stupňům, pak je požadovaným bodem Point Torricelli . Určený bod by se neměl nacházet v blízkosti kružnice procházející třemi výchozími body [2] .

Historie

Nizozemský matematik Snellius byl první, kdo problém vyřešil analyticky v roce 1616. V roce 1692 však francouzský matematik L. Potenot (1660-1732) navrhl lepší řešení tohoto problému, který později dostal jeho jméno [3] . V různých dobách se jí věnovali kartografové I. G. Leman (1765-1811), A. P. Bolotov (1803-1853), A. D. Motorny (1891-1964) a další.

Postup řešení problému metodou Delambre

1. Vypočítejte směrový úhel směru z výchozího bodu 1 do určeného bodu "0" podle vzorce: [4]

$\mathrm {tg} \alpha _{1-0}={\frac {\Delta Y_{2-1}*{\název operátora {ctg} \beta _{1))+\Delta Y_{1- 3}*{\jméno operátora {ctg} \beta _{2}}-x_{2}+x_{3}}{\Delta X_{2-1}*{\jméno operátora {ctg} \beta _{1}} +\Delta X_{1-3}*{\jméno operátora {ctg} \beta _{2}}+y_{2}-y_{3}}}$ .

2. Určete směrové úhly směrů z dalších výchozích bodů - 2, 3, 4.

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{2-0}=a_{1-0}+\beta _{1))$

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{3-0}=a_{1-0}+\beta _{2))$

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha _{4-0}=a_{1-0}+\beta _{3))$

3. Pomocí vzorců tečen nebo kotangens směrových úhlů z výchozích bodů do určeného bodu P vypočítejte souřadnice bodu P ve dvou kombinacích. Druhá kombinace je nezávislá a kontrolní.

I kombinace

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{1}*{\název operátora {tg} \alpha _{1-0}}-x_{2}*{\název operátora {tg} \ alpha _{2-0}}-y_{1}+y_{2}}{\jméno operátora {tg} \alpha _{1-0}-\jméno operátora {tg} \alpha _{2-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y'} _{0}={y_{1}+\Delta X_{1-0}*{\název operátora {tg} \alpha _{1-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y''} _{0}={y_{2}+\Delta X_{2-0}*{\název operátora {tg} \alpha _{2-0))))$ .

II kombinace

${\displaystyle \mathrm {x} _{0}={\frac {x_{3}*{\název operátora {tg} \alpha _{3-0}}-x_{4}*{\název operátora {tg} \ alpha _{4-0}}-y_{3}+y_{4}}{\jméno operátora {tg} \alpha _{3-0}-\jméno operátora {tg} \alpha _{4-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y'} _{0}={y_{3}+\Delta X_{3-0}*{\název operátora {tg} \alpha _{3-0))))$ .

${\displaystyle \mathrm {y''} _{0}={y_{4}+\Delta X_{4-0}*{\název operátora {tg} \alpha _{4-0))))$ .

Poznámky

↑ Příručka velitele čety baterie divizního dělostřelectva. - Moskva: Vojenské nakladatelství Lidového komisariátu obrany, 1943.
↑ V.D. Bolshakov, E.B. Klyushin, I.Yu. Vasyutinskiy Editoval V.P. Savinnykh a V.R. Jaščenko. [Obecné zásady pro tvorbu plánovitého výškového zdůvodnění pro polohopisná a geodetická zaměření 4.2 Zaměřovací geodetická síť] // Geodetické zaměření a projektování inženýrských staveb. - Moskva: "Nedra", 1991. - S. 79. - 237 s.
↑ N. L.S. Zasraný. Potenotův problém // "Quantum" : vědecký pop. Fyzikální matematika časopis - M . : "Nauka" , 1973. - č. 4 . - S. 30-34 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Příklad 9. Geodetická resekce (Potenotův problém) - Geodetická podpora pro stavbu . Získáno 28. prosince 2019. Archivováno z originálu dne 7. července 2021. (neurčitý)

Literatura

Motorny A. D. Potenotův problém (analytické řešení) / / Vědecké poznámky LPI, geodetická řada č. 1. - 1949. - Vydání. XV. - S. 165-171.
Reverse single serif // Geodesist's Handbook. kniha 2 / Ed. V. D. Bolšakov a G. P. Levčuk. - 3. vyd. reab a další .. - Moskva: Nedra, 1985. - S. 194. - 440 s.

Odkazy

Geodetická terminologie na www.geodezist.info