Trilaterace

Trilaterace (z lat. trilaterus - tripartita) je způsob určování polohy geodetických bodů sestrojením soustavy sousedních trojúhelníků na zemi, u kterých se měří délky jejich stran [1] . Je to jedna z metod určování souřadnic na zemi spolu s triangulací (při níž se měří úhly příslušných trojúhelníků) a polygonometrií (měří se úhly i vzdálenosti). Trilaterace je založena na lineárním vrubu .

Matematické odvození

Možnost 1

V geometrii je trojrozměrným trilateračním problémem nalezení souřadnic průsečíku tří koulí , které jsou určeny řešením soustavy rovnic . Pro zjednodušení výpočtů předpokládáme, že středy všech tří koulí leží v rovině , jedna z nich se shoduje s počátkem souřadnic , druhá leží na ose . Uložená omezení nesnižují obecnost: jakýkoli systém odpovídajících rovnic lze redukovat do tohoto tvaru přechodem do jiného souřadnicového systému . K nalezení řešení v původním souřadnicovém systému je řešení nalezené v tomto (redukovaném) souřadnicovém systému podrobeno transformacím, které jsou inverzní k těm, které umožnily uvést původní sadu tří bodů do souladu s omezeními. $z=0$ $X$

Začněme rovnicemi pro tři sféry:

{\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ end{cases}}

Musíte najít bod , který splňuje všechny tři rovnice. $(x,y,z)$

Nejprve odečtěte druhou rovnici od první a najděte : $X$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Uvažujeme, že první dvě koule se protínají ve více než jednom bodě, tedy . V tomto případě dosazením výrazu do rovnice první koule získáme kruhovou rovnici , což je požadovaný průsečík prvních dvou koulí: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $X$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

Dosadíme : do rovnice třetí koule a najdeme : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

Znáte-li souřadnice a můžete souřadnice snadno najít : $X$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Nyní máme všechny tři souřadnice. Protože je vyjádřen jako kladná nebo záporná odmocnina, daný problém může mít nula, jedno nebo dvě řešení. $z$

To lze znázornit tak, že vezmeme kružnici získanou z průsečíku prvních dvou koulí a najdeme její průsečík se třetí koulí. Pokud tato kružnice prochází mimo třetí kouli, souřadnice je rovna odmocnině záporného čísla, což znamená, že neexistuje žádné skutečné řešení. Pokud se kružnice dotýká koule přesně v jednom bodě, rovná se nule. Pokud kružnice protíná kouli ve dvou bodech, rovná se kladné nebo záporné odmocnině kladného čísla. $z$ $z$ $z$

Možnost 2: žádná transformace souřadnic

S využitím skutečnosti, že každá dvojice koulí se protíná podél kružnice, jejíž střed leží na přímce spojující středy koulí, a skutečnosti, že tato kružnice leží v rovině kolmé k této přímce, můžeme problém vyřešit pomocí lineárního soustava rovnic .

Nechť být středy původních koulí, být vzdálenosti mezi středy koulí a být požadovaný bod. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3 },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Najít - střed průsečíku prvních dvou koulí. $O_{{12}}(x_{1}+\alpha (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alpha (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Odečtěte druhou rovnici od první:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Pojďme se transformovat:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

Požadovaný bod leží v rovině procházející a kolmé k . Proto je pro ni rovnice této roviny splněna: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1}) = 0

, nebo jinak:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})

Po nahrazení dostaneme: $\alpha$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

Rovněž,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

Průsečík dvou získaných rovin dává přímku kolmou k rovině trojúhelníku. Průsečík této přímky s rovinou trojúhelníku dává bod - základnu kolmice z bodu do roviny trojúhelníku. Po doplnění soustavy rovnicí roviny trojúhelníku získáme lineární soustavu rovnic pro souřadnice bodu . $Ó$ $X$ $Ó$

Rovnice trojúhelníkové roviny:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

kde:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

je vektorový produkt a .

\overline {O_{1}O_{2}}

\overline {O_{1}O_{3}}

Koeficienty na souřadnicích požadovaného bodu tvoří matici 3x3. Pokud středy původních koulí neleží na přímce, pak je tato matice nedegenerovaná a požadované souřadnice jsou nalezeny po aplikaci inverzní matice na pravou stranu systému. Označte nalezené souřadnice bodu . Pak: $Ó$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}

Nevýhody

První

Samotné ovládání měření vzdáleností a trilateračních sítí je příliš slabé a v některých konfiguracích zcela chybí, což je u přesných geodetických konstrukcí nepřijatelné. Například v 1. trojúhelníku s měřenými stranami zcela chybí kontrola měření, protože nevzniká jediná podmíněná rovnice, to znamená, že neexistují žádná nadbytečná měření; v geodetickém čtyřúhelníku a centrálním systému s měřenými stranami vzniká pouze jedna podmíněná rovnice, to znamená, že je nedostatečný počet nadbytečných měření [2] .

Druhý

Při srovnatelné přesnosti úhlových a lineárních měření je přesnost přenosu azimutu při trilateraci výrazně nižší než při triangulaci. Řízení se provádí pomocí Laplaceových azimutů, které umožňují nezávislé řízení a vyrovnání úhlových měření [2] [3] .

Třetí

Z technického a ekonomického hlediska je metoda trilaterace výrazně horší než triangulace. Metoda je složitá jak při práci v terénu, tak při kancelářských výpočtech [2] .

Charakteristika

Třídy/hodnosti	Délka strany, km	Boční chyba (omezní relativní chyba při určování délek stran)	Počet trojúhelníků mezi počátky	Minimální úhel v trojúhelníku, oblouk. stupeň	Minimální úhel ve čtyřúhelníku, oblouk. stupeň
III třída
IV třída	1-5	1 : 50 000	6	dvacet	25
1 pořadí	0,5–6	1 : 20 000	osm	dvacet	25
2. kategorie	0,25-3	1 : 10 000	deset	dvacet	25

[čtyři]

Aplikace

K lokalizaci úderů blesku lze použít trilateraci . Detektory pracující na společném synchronizovaném systému mohou využít rozdílu v čase příchodu radiové emise doprovázející výboj k určení vzdálenosti od detektoru k výboji. Takové systémy mohou být užitečné v lesnictví pro prevenci požárů a sledování cyklonů .

Tuto metodu lze v některých případech použít při tvorbě geodetických referenčních sítí III, IV tříd, koncentrace sítí do 1, 2 kategorií. Při vytváření státních geodetických sítí tříd I a II nebyla v SSSR metoda trilaterace použita [5] [6] [2] .

V souvislosti s vývojem a zdokonalováním přesnosti světelných a rádiových zařízení, systémů družicové navigace, ale i výpočetní techniky a měření vzdáleností nabývají na významu trilaterační metody zejména v praxi inženýrských a geodetických prací [2]. .

Viz také

Poznámky

↑ Sergej Fedorovič Achromějev, Vojenský historický ústav. Vojenský encyklopedický slovník. — Vojenský. nakladatelství, 1986. - 863 s.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. ZÁKLADNÍ METODY VYTVÁŘENÍ STÁTNÍ GEODETICKÉ SÍTĚ // Vyšší geodézie . - Moskva: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 s. - 8600 výtisků. (Ruština)
↑ Igor Pandul. Geodetická astronomie aplikovaná na řešení inženýrskogedetických úloh . — Litry, 2017-12-09. — 326 s. — ISBN 9785040943883 . Archivováno 21. června 2020 na Wayback Machine
↑ Inženýrská geodézie
↑ Trilaterace, její metoda – co to je? . Staženo 4. ledna 2020. Archivováno z originálu dne 19. června 2020. (neurčitý)
↑ Základní metody tvorby státní geodetické sítě . Staženo 4. ledna 2020. Archivováno z originálu dne 7. ledna 2020. (neurčitý)

Literatura

Brinker, R. C. a Minnick, R. 12. Trilateration // The Surveying Handbook . - Chapman & Hall, 1995. - 967 s. — ISBN 9780412985119 .