Problém zakrytí pruhů

Problém pokrytí pruhů je klasickým problémem kombinatorické geometrie . V nejjednodušším případě to zní takto:

Dokažte, že kruh o průměru nemůže být pokryt pásy s celkovou šířkou menší než .

d

d

Problém pokrytí pruhů je známý jako příklad problému, u kterého je vhodné při jeho řešení přejít do vyšších dimenzí.

O důkazu

V trojrozměrné verzi problému se místo pásů berou oblasti mezi rovnoběžnými rovinami. Řešení této verze problému snadno vyplývá ze skutečnosti, že plocha bočního povrchu kulové vrstvy závisí pouze na její výšce. Zejména koule nemůže být pokryta vrstvami o celkové tloušťce menší než je průměr koule, což znamená, že koule také nemůže.

Z tohoto pozorování okamžitě vyplývá dvourozměrný případ. Toto řešení navrhl Hugo Steinhaus .

Variace a zobecnění

V roce 1932 Tarski předpokládal, že pokud lze konvexní postavu pokrýt pruhy o celkové šířce 1, lze ji překrýt jediným pruhem o šířce 1. Töger Bang dostal v roce 1951 kladnou odpověď. [jeden]

Bang navrhl následující verzi problému o relativní šířce pruhů:

Předpokládejme, že konvexní těleso je pokryto konečným počtem proužků o šířkách a v odpovídajících směrech jsou šířky . Dokázat to

K

{\displaystyle w_{1},\tečky ,w_{n))

v_{1},\tečky ,v_{n}

K

{\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\tečky +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.

Viz také

Mongeova věta je dalším klasickým příkladem tvrzení, při jehož důkazu je užitečné zvětšit rozměr prostoru.

Poznámky

↑ King, Jonathan L. Tři problémy při hledání míry // Amer . Matematika. Měsíční : deník. - 1994. - Sv. 101 . - S. 609-628 . - doi : 10.2307/2974690 .

Literatura

I. M. Yaglom. T. Bang - V. Fenykl. Řešení úlohy na zakrytí konvexních obrazců // Matem. osvícení, ser. 2. - 1957. - č. 1 . - S. 214-218 . (Ruština)
R.Alexandr. Problém s čarami a ovály // The American Mathematical Monthly. - 1968. - Sv. 75 , č. 5 . - str. 482-487 .
Bezděk, Karoly. Tarskiho problém prkna znovu prozkoumán // Geometrie – intuitivní, diskrétní a konvexní. - 2013. - S. 45-64 .
Gardner, Richard. Míry relativní šířky a problém prken // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - Sv. 135 , č.p. 2 . - str. 299-312 .
Bang, Thøger (1950), O pokrytí paralelními pásy., Mat. Tidsskr. B .: 49–53
Bang, Thøger (1951), Řešení „problému prkna“ , Proc. amer. Matematika. soc. díl 2 (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,