Ideální poloskupina

Ideál pologrupy je podmnožinou pologrupy , která je uzavřena pod násobením prvky z , kde násobení je chápáno jako algebraická operace na pologrupě. $I$ $S$ $S$

Definice

Neprázdná podmnožina pologrupy se nazývá levý ideál , jestliže: , kde je množina součinů prvků a . $I$ $S$ $S$ $SI\subset I$ $SI$ $si$ $v S$ $i\v I$

$I$ se nazývá správný ideál , pokud: . $IS\subset I$

$I$ se nazývá oboustranný ideál , pokud jsou splněny obě tyto podmínky. Nazývá se také jen ideál, pokud jde o levý nebo pravý ideál $I$ $S$ .

V libovolné pologrupě je pro jakoukoli neprázdnou podmnožinu součin pravý ideál, levý ideál a oboustranný ideál. $S$ $R\subset S$ $RS$ $SR$ $SRS$

Triviální ideály, které má každá pologrupa, jsou množina sestávající z nulového prvku pologrupy (pokud existuje) a celé pologrupy.

Příklady

Množina sudých čísel tvoří oboustranný ideál pologrupy přirozených čísel s ohledem na operaci násobení . Vyplývá to ze skutečnosti, že sudé číslo vynásobené jakýmkoli jiným bude sudé. $(\mathbb {N} ,\cdot )$

Množina konstantních funkcí je oboustranný ideál pologrupy všech reálných funkcí s ohledem na operaci skládání : $F$

Dovolit být množina všech konstantních funkcí (to znamená, že pro všechny , hodnota nezávisí na ).

C

c\in C

c(x)

x\in \mathbb {R}

Aby byla sada oboustranným ideálem , musí být ideálem levorukým i pravorukým .

C

F

F

$C$ je levoruký ideál , protože $F$ $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$
$C$ je pravorukým ideálem, protože $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

Dovolit být podmnožinou všech periodických funkcí. $S$
1. $S$ je levý ideál s ohledem na superpozici. Množina hodnot periodické funkce je periodická posloupnost ( , kde je perioda funkce), je zřejmé, že funkce periodické posloupnosti je periodická funkce: $F$ $s(x)=s(x+T)$ $T$ $f(s(x))=f(s(x+T))\Šipka doprava \forall f\in F,\forall s\in S:fs\subset S$
2. Ale není to správný ideál. Abychom to viděli, stačí uvést jeden příklad, kde jsou takové a , že podmínka není splněna. Vezměme si funkce: , , jejichž superpozice bude mít za následek neperiodickou funkci . $S$ $f\in F$ $v S$ $sf\in S$ $sin(x)\in S$ $x^{2}\in F$ $sin(x^{2})$

Dovolit být semigrupa všech čtvercových matic řádu s ohledem na operaci násobení , pak soubor skládající se z matic, ve kterých jsou všechny prvky pevného sloupce stejné , tvoří levý ideál. $(\mathrm {K} ,\cdot )$ $n$ $0$

Dovolit být soubor všech degenerovaných matic . Pak - oboustranný ideál , protože produktem degenerované matice kteroukoli jinou bude degenerovaná matice. $D$ $D$ $(\mathrm {K} ,\cdot )$

Hlavní ideály pologrup

Hlavní ideál (levý, pravý, oboustranný) pologrupygenerované prvkemje nejmenší ideál (respektive levý, pravý, oboustranný) obsahující. Hlavní levý, pravý a oboustranný ideál lze zapsat tak jako: $S$ $\alpha$ $\alpha$

L=S\alpha \cup \alpha

R=\alpha S\cup \alpha

D=S\alpha S\cup \alpha S\cup S\alpha \cup \alpha

Pokud je v pologrupě neutrální prvek , pak hlavní levý, pravý, oboustranný ideál mají tvar: $E$

L

S\alpha

R

\alpha S

D

S\alpha S

Vyzdvihněme několik hlavních ideálů z výše uvedených příkladů:

1) Množina sudých čísel je hlavním oboustranným ideálem pologrupy . Protože každý prvek množiny je reprezentován jako 2 , pak jeho generující prvek je 2. $já$ $(N,\cdot )$ $já$ $k$

2) Je dokázáno, že množina konstantních funkcí je oboustranným ideálem pologrupy všech reálných funkcí vzhledem k superpozici. Vezměme nějakou konstantní funkci jako generující prvek. Pak množina formuláře vygeneruje množinu , protože pokrývá všechny možné reálné funkce (stačí vzít množinu funkcí tvaru = + , kde ), z čehož plyne, že je hlavním levým ideálem. Nevytváří však , a proto není hlavním správným ideálem. $C$ $F$ $c(x)$ $Fc$ $C$ $f(x)$ $X$ $r$ $r$ $\v$ $R$ $C$ $cF$ $C$ $C$

Literatura

E. S. Lyapin, "Poloskupiny", 1960