Perfektní bod

Nevlastní bod , ideální bod , bod omega nebo bod v nekonečnu [1] je dobře definovaný bod mimo hyperbolickou rovinu nebo prostor. Je- li daná přímka l a bod P vně l , pak přímky procházející P , zprava a zleva rovnoběžné v limitě s přímkou ​​l , se sbíhají k l v ideálních bodech .

Na rozdíl od projektivního případu tvoří ideální body spíše hranici než podvarietu. Tyto přímky se tedy neprotínají v ideálním bodě a takové body, ačkoli jsou dobře definované , nepatří do samotného hyperbolického prostoru.

Ideální body dohromady tvoří Cayleyův absolut neboli hranici hyperbolické geometrie . Například jednotkový kruh tvoří Cayleyův absolut Poincarého diskového modelu a Kleinova diskového modelu . Reálná přímka zároveň tvoří Cayleyho absolut polorovinného modelu [2] .

Paschův axiom a věta o vnějším úhlu trojúhelníku platí pro omega-trojúhelník , který je definován dvěma body hyperbolického prostoru a omega-bodem [3] .

Vlastnosti

Polygony s ideálními vrcholy

Dokonalé trojúhelníky

Pokud jsou všechny vrcholy trojúhelníku dokonalé body, pak je trojúhelník dokonalým trojúhelníkem .

Dokonalé trojúhelníky mají několik zajímavých vlastností:

Ideální čtyřúhelníky

Pokud jsou všechny vrcholy čtyřúhelníku ideálními body, pak je čtyřúhelník dokonalým čtyřúhelníkem.

Zatímco všechny dokonalé trojúhelníky jsou shodné, ne všechny čtyřúhelníky jsou shodné, úhlopříčky se mohou protínat v různých úhlech, což má za následek nekongruentní čtyřúhelníky s:

Perfektní čtverec

Dokonalý čtyřúhelník, ve kterém jsou dvě úhlopříčky kolmé , tvoří dokonalý čtverec.

Dokonalý čtverec použil Ferdinand Karl Schweikart ve svém memorandu, ve kterém zmiňuje „astrální geometrii“. Byla to jedna z prvních publikací, která připustila možnost hyperbolické geometrie [5] .

Ideální n -úhelníky

Jak lze n - úhelníky rozdělit na ( n − 2) dokonalé trojúhelníky a plocha mnohoúhelníku se bude rovnat ploše dokonalého trojúhelníku krát ( n − 2) .

Reprezentace v modelech hyperbolické geometrie

V Kleinově modelu disku a Poincareho disku modelu hyperbolické roviny jsou ideálními body jednotkové kružnice (pro hyperbolickou rovinu) nebo jednotková koule (pro vyšší dimenzionální prostory), které jsou nedosažitelnou hranicí hyperbolického prostoru.

Stejná hyperbolická přímka v modelu disku Klein a modelu disku Poincaré bude procházet stejnými dvěma ideálními body.

Klein model disku

Jsou-li dány dva odlišné body p a q v otevřeném jednotkovém disku, jediná přímka, která je spojuje, protíná jednotkovou kružnici ve dvou ideálních bodech a a b ( za předpokladu, že body jsou v pořadí a , p , q , b ), takže | aq| >|ap| a |pb| > |qb|. Potom je hyperbolická vzdálenost mezi p a q dána vztahem

Model disku Poincaré

Jsou-li dány dva odlišné body p a q v otevřeném jednotkovém disku, pak jeden kruhový oblouk kolmý k hranici a spojující body protíná jednotkovou kružnici ve dvou ideálních bodech a a b (za předpokladu, že body jsou v pořadí a , p , q , b ), takže |aq| >|ap| a |pb| > |qb|. Potom je hyperbolická vzdálenost mezi p a q dána vztahem

Zde se vzdálenost měří podél (přímých) segmentů aq, ap, pb a qb.

Polorovinný model Poincaré

V polorovinném modelu jsou ideálními body body na hraniční ose. Existuje také další ideální bod, který do polorovinného modelu nepatří (ale blíží se mu paprsky rovnoběžné s kladnou poloosou y ).

Hyperbolický model

V hyperboloidním modelu nejsou žádné nesprávné body .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Komatsu, 1981 , str. 103-104.
  2. ↑ Struve, Struve, 2010 , str. 151–170.
  3. ↑ Hvidsten, 2005 , str. 276–283.
  4. ↑ Thurston, 2012 .
  5. ↑ Bonola, 1955 , str. 75–77.

Literatura